Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) = – h² + 22h – 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como
A) muito baixa.
B) baixa.
C) média.
D) alta.
E) muito alta.
Resolução em texto
Matérias Necessárias: Função quadrática, vértice de parábola, interpretação de máximo.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: D.
Objetivo Geral: Determinar a classificação de temperatura no instante em que T(h) atinge o valor máximo.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada por T(h) = – h² + 22 h – 85, em que h representa as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima … Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como …”
1.2 O que está sendo pedido?
Identificar, a partir da função T(h), em qual classificação de temperatura (muito baixa, baixa, média, alta, muito alta) se encontra o valor máximo de T(h).
1.3 Objetivo Cristalino
Calcular o valor máximo de T(h) (o vértice da parábola) e comparar esse valor com os intervalos dados para definir a classificação.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembra como encontrar a temperatura máxima de uma função quadrática na forma T(h) = a h² + b h + c, sabendo que a < 0?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Função quadrática no formato T(h) = a h² + b h + c, com a < 0, tem um ponto de máximo no vértice.
- Para a função T(h) = a h² + b h + c, o coeficiente a = –1, b = 22, c = –85.
- O valor máximo (valor de T) ocorre quando
h_v = – b / (2 a),
e a temperatura máxima é
T_v = – Δ / (4 a),
onde Δ = b² – 4 a c.
2.2 Dúvida Comum e Resposta
- Dúvida Comum: “Por que usamos – Δ / (4 a) para encontrar T_v em vez de simplesmente calcular T(h_v)?”
- Resposta: Ambas as fórmulas são equivalentes. O uso de – Δ / (4 a) é a forma direta de obter o valor do vértice sem precisar substituir h_v em T(h). Ambas resultam no mesmo valor quando a, b e c estão corretos.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Temos a função de temperatura T em função do tempo h: T(h) = – h² + 22 h – 85. Queremos descobrir qual é o valor máximo de T e então verificar em qual intervalo de classificação (0 ≤ T ≤ 17, 17 < T < 30, 30 ≤ T ≤ 43, etc.) esse valor se encaixa.
3.2 Estratégia Geral
- Calcular Δ = b² – 4 a c.
- Calcular T_v = – Δ / (4 a).
- Verificar se T_v está entre 30 e 43, pois se enquadrará em “Alta” ou outro intervalo.
- Escolher a classificação correta.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
- Identificar coeficientes:
- a = –1
- b = 22
- c = –85
- Calcular Δ:
- b² = 22 × 22 = 484
- 4 a c = 4 × (–1) × (–85) = 4 × 85 = 340
- Δ = b² – 4 a c = 484 – 340 = 144
- Calcular T_v usando T_v = – Δ / (4 a):
- 4 a = 4 × (–1) = –4
- – Δ = –144
- T_v = (–144) / (–4) = 36
Ou, em palavras: a diferença Δ é 144, dividindo por 4 a (–4) e invertendo o sinal, obtemos 36.
- Concluímos que a temperatura máxima atingida na estufa é 36 °C.
4.2 Verificação Intermediária
- T_v = 36 está entre 30 e 43. Portanto, a temperatura máxima se classifica como “Alta” (30 ≤ T ≤ 43).
Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) muito baixa (T < 0)
B) baixa (0 ≤ T ≤ 17)
C) média (17 < T < 30)
D) alta (30 ≤ T ≤ 43)
E) muito alta (T > 43)
5.2 Justificativa Individual
- A) muito baixa ❌
- T_v = 36 não está abaixo de 0.
- B) baixa ❌
- 36 não está entre 0 e 17.
- C) média ❌
- 36 não está entre 17 e 30, pois 36 > 30.
- D) alta ✅
- 36 satisfaz 30 ≤ 36 ≤ 43.
- E) muito alta ❌
- 36 não é maior que 43.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Calculamos Δ = 144, usamos T_v = – Δ / (4 a) com a = –1 para obter T_v = 36 °C. Em seguida, verificamos que 36 está no intervalo de “Alta”.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é D) alta.
6.3 Resumo Final para Revisão
Em funções quadráticas com “a” negativo, o máximo é dado por – Δ / (4 a). Depois de obter esse valor, compare com os intervalos dados para escolher a classificação correta.
