A questão 171 do Enem 2017 Libras (caderno verde, Dia 2) é de Matemática e cobra as lojas representadas no plano cartesiano. O gabarito é a alternativa D ((9 ; 18)). Abaixo você confere o enunciado, a resolução passo a passo e por que cada alternativa errada engana tantos candidatos.
Enunciado da questão 171 do Enem 2017 Libras
Foi utilizado o plano cartesiano para a representação de um pavimento de lojas. A loja A está localizada no ponto A(1 ; 2). No ponto médio entre a loja A e a loja B está o sanitário S, localizado no ponto S(5 ; 10).
Determine as coordenadas do ponto de localização da loja B.
A) (–3 ; –6)
B) (–6 ; –3)
C) (3 ; 6)
D) (9 ; 18)
E) (18 ; 9)
Resolução comentada da questão 171
Matérias necessárias para resolver a questão
- Geometria Analítica
- Plano Cartesiano
- Ponto Médio de um Segmento de Reta
Tema e objetivo geral
Tema/Objetivo Geral: Determinar a coordenada de uma das extremidades de um segmento de reta, conhecendo a outra extremidade e o ponto médio.
Nível da questão
- Fácil. Trata-se de uma aplicação direta da fórmula do ponto médio. A resolução exige apenas a organização dos dados e a execução de operações algébricas básicas.
Gabarito da questão 171: alternativa D
- D) (9 ; 18). Esta alternativa está correta, pois se aplicarmos a fórmula do ponto médio aos pontos A(1, 2) e B(9, 18), o resultado será exatamente o ponto S(5, 10).
Passo 1: o que a questão pede (o mapa da mina)
Decodificação do Objetivo: A missão é encontrar a localização da Loja B. As pistas são: sabemos a localização da Loja A e sabemos que o Sanitário S está exatamente na metade do caminho entre a Loja A e a Loja B.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma caça ao tesouro em uma cidade com ruas retas. Você está na Loja A. Um mapa diz: “Caminhe até o Sanitário S. Você está na metade do caminho para a Loja B”. O que você faz para encontrar a Loja B? Você simplesmente repete exatamente a mesma caminhada que fez de A para S, mas começando de S.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Vamos seguir a analogia da caminhada.
- Analisar a Caminhada em X: Descobrir quantos “passos” na horizontal (eixo x) foram dados para ir de A até S.
- Repetir a Caminhada em X: Dar a mesma quantidade de “passos” a partir de S para encontrar a coordenada x da Loja B.
- Analisar a Caminhada em Y: Descobrir quantos “passos” na vertical (eixo y) foram dados para ir de A até S.
- Repetir a Caminhada em Y: Dar a mesma quantidade de “passos” a partir de S para encontrar a coordenada y da Loja B.
Passo 2: ponto médio
A ferramenta por trás da nossa lógica é a Fórmula do Ponto Médio. Ela nos diz que o ponto médio é, literalmente, a média das coordenadas das extremidades.
🕵️♂️ Dossiê: A Anatomia do Ponto Médio
- Definição: O ponto médio de um segmento de reta AB é o ponto S que está à mesma distância de A e de B.
- Fórmula para a coordenada X: x_s = (x_a + x_b) / 2
- Fórmula para a coordenada Y: y_s = (y_a + y_b) / 2
- O Enigma do Nosso Caso: O problema nos deu x_s, y_s, x_a, e y_a. Nossa missão é usar essas fórmulas para “isolar” e descobrir x_b e y_b. É um caso de engenharia reversa da fórmula!
Passo 3: resolução passo a passo (mão na massa)
Vamos executar nosso “Plano de Ataque” da caminhada, que é uma forma intuitiva de resolver a fórmula.
- Pontos conhecidos: A(1, 2) e S(5, 10).
- 1 e 2. A Jornada no Eixo X (Horizontal):
- Para ir da coordenada x=1 (Loja A) até x=5 (Sanitário S), a caminhada foi de 5 – 1 = +4 passos.
- Para encontrar a Loja B, repetimos a caminhada a partir de S: 5 + 4 = 9.
- A coordenada x da Loja B é 9.
- 3 e 4. A Jornada no Eixo Y (Vertical):
- Para ir da coordenada y=2 (Loja A) até y=10 (Sanitário S), a caminhada foi de 10 – 2 = +8 passos.
- Para encontrar a Loja B, repetimos a caminhada a partir de S: 10 + 8 = 18.
- A coordenada y da Loja B é 18.
- Conclusão da Investigação: A localização da Loja B é (9, 18).
ARMADILHA CLÁSSICA!
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é a de inverter o objetivo. O enunciado dá o ponto médio S, mas um candidato apressado pode ler “ponto médio”, “loja A” e “loja B” (com S no meio) e calcular o ponto médio de A e S. Isso levaria a: (1+5)/2 = 3 e (2+10)/2 = 6. O resultado (3, 6) é a alternativa C, uma isca perfeita! A regra de ouro é: leia com atenção para saber se você precisa encontrar o ponto médio ou usar um ponto médio que já foi dado.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Identificamos o deslocamento em x (+4) and em y (+8) para ir de A até o ponto médio S. Aplicamos o mesmo deslocamento a partir de S para encontrar a outra extremidade B, resultando nas coordenadas (9, 18).
- Expectativa: A alternativa correta deve ser (9, 18).
Passo 4: alternativas comentadas (a autópsia)
- A) (–3 ; –6)
- A “Narrativa do Erro”: Estes resultados surgem de erros na aplicação da fórmula, provavelmente subtraindo coordenadas na ordem errada ou cometendo erros de sinal na álgebra.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo / Inversão de Lógica.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) (–6 ; –3)
- A “Narrativa do Erro”: Assim como na alternativa A estes resultados surgem de erros na aplicação da fórmula.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo / Inversão de Lógica.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) (3 ; 6)
- A “Narrativa do Erro”: O candidato caiu na armadilha clássica, calculando o ponto médio entre A e S.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir o Objetivo (Calcular o ponto médio em vez de usá-lo como dado).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) (9 ; 18)
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente ao resultado da nossa investigação.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- E) (18 ; 9)
- A “Narrativa do Erro”: O candidato encontrou as coordenadas corretas, 9 e 18, mas as inverteu na hora de montar o par ordenado (x, y).
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de Coordenadas.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
Passo 5: resumo e aprendizagem expandida
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa D, e a maneira mais intuitiva de resolver é lembrar que a jornada da ponta até o meio é exatamente igual à jornada do meio até a outra ponta.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para achar o fim do caminho, repita a pernada: o que você andou até o meio, ande de novo.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio que você usou é fundamental em Design Gráfico e Animação Computadorizada, especificamente na operação de “reflexão” ou “espelhamento”. Se um designer quer espelhar um objeto (Loja A) através de um ponto central (Sanitário S), a nova posição do objeto espelhado (Loja B) é calculada usando exatamente a lógica do ponto médio reverso que acabamos de desvendar. Você não resolveu apenas um problema de mapa, você aprendeu a base matemática para criar simetria em computação gráfica.
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