Uma piscina de um clube tem o formato de paralelepípedo reto retângulo com 50 m de comprimento, 25 m de largura e 3 m de profundidade. O proprietário do clube construirá duas novas piscinas, de formatos diferentes, e necessita que cada uma tenha o mesmo volume da existente ou o mais próximo possível desse volume. A empresa de construção contratada disponibilizou, para a avaliação desse proprietário, uma proposta com cinco projetos de piscina: três com o formato de cilindro circular reto e duas com o formato de paralelepípedo reto retângulo:
• piscina cilíndrica I (C1 ): 50 m de diâmetro de base e 2 m de profundidade;
• piscina cilíndrica II (C2 ): 40 m de diâmetro de base e 3 m de profundidade;
• piscina cilíndrica III (C3 ): 46 m de diâmetro de base e 2,5 m de profundidade;
• piscina em formato de paralelepípedo I (P1 ): 62 m de comprimento, 24 m de largura e 2 m de profundidade;
• piscina em formato de paralelepípedo II (P2): 64 m de comprimento, 30 m de largura e 2 m de profundidade.
Considere 3 como valor aproximado de π.
Para atender às suas necessidades, dentre os projetos propostos, o proprietário desse clube deverá escolher as piscinas:
a) C1 e P2.
b) C1 e C3.
c) C2 e P1 .
d) C3 e P2.
e) P1 e P2.
Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Geometria Espacial (Cálculo de Volume de Prismas e Cilindros) e Aritmética (Operações com decimais e potências).
Tema/Objetivo Geral: Comparar volumes de diferentes sólidos geométricos (paralelepípedo e cilindro) para identificar quais projetos se aproximam mais de um valor de referência.
Nível da Questão: Médio.
- O nível se justifica pela necessidade de múltiplos cálculos sucessivos e pelo perigo constante de confundir diâmetro com raio, o que mudaria todo o rumo da investigação.
Gabarito: A.
- A alternativa está correta porque, após calcularmos todos os volumes, a piscina C1 apresenta o volume exato (3750 m³) e a P2 é a que possui a menor diferença numérica (90 m³) em relação ao alvo, formando a dupla mais precisa.
PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Ache o volume da piscina velha e veja quais dois projetos novos são quase gêmeos dela”. O proprietário quer fidelidade volumétrica, não importa o formato.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como se você tivesse um balde de 37,5 litros e precisasse comprar outros dois. Um deles precisa ser exatamente de 37,5 litros e o outro, se não for igual, tem que ser o que chega mais perto, tipo 38 litros, em vez de um de 30 ou 45. O verdadeiro desafio aqui é a precisão dos cálculos e a comparação final.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular o “Volume Alvo” da piscina original.
- Calcular o volume de cada um dos 5 projetos (C1, C2, C3, P1 e P2).
- Subtrair os resultados do alvo para ver quem “ganhou” por estar mais perto.
- Marcar a alternativa que traz os dois vencedores.
PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Pra não ter erro nesta perícia, vamos organizar as ferramentas matemáticas.
Dossiê de Fórmulas de Volume
Ferramenta 1: Paralelepípedo (Caixa): O volume (V) é a multiplicação das três dimensões: V = Comprimento × Largura × Profundidade.
Ferramenta 2: Cilindro Circular Reto: O volume é a área do círculo da base multiplicada pela profundidade. V = π × r² × h.
ALERTA DE SEGURANÇA: A questão deu o Diâmetro. O Raio (r) é sempre a METADE do diâmetro. Use π = 3.
PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Bora lá, Investigador! Vamos fazer esses números confessarem a verdade.
Primeiro, o Alvo (Piscina Original):
Comprimento = 50m | Largura = 25m | Profundidade = 3m
Volume Alvo = 50 × 25 × 3 = 1250 × 3 = 3750 m³.
Bingo! Nosso número mágico é 3750.
Agora, os Projetos (Cálculos de Volume):
C1: Diâmetro 50m → Raio = 25m. Profundidade = 2m.
V = 3 × (25)² × 2 = 3 × 625 × 2 = 1875 × 2 = 3750 m³.
(Diferença do alvo: 0 m³. É idêntica!)C2: Diâmetro 40m → Raio = 20m. Profundidade = 3m.
V = 3 × (20)² × 3 = 3 × 400 × 3 = 1200 × 3 = 3600 m³.
(Diferença do alvo: 150 m³).C3: Diâmetro 46m → Raio = 23m. Profundidade = 2,5m.
V = 3 × (23)² × 2,5 = 3 × 529 × 2,5 = 1587 × 2,5 = 3967,5 m³.
(Diferença do alvo: 217,5 m³).P1: 62m × 24m × 2m.
V = 62 × 24 × 2 = 1488 × 2 = 2976 m³.
(Diferença do alvo: 774 m³).P2: 64m × 30m × 2m.
V = 64 × 30 × 2 = 1920 × 2 = 3840 m³.
(Diferença do alvo: 90 m³).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! O erro mais comum aqui é usar o diâmetro direto na fórmula do cilindro. Se você usar o 50 na C1, o volume vai para 15000 e você vai achar que a questão está louca. Outro vacilo é errar a conta de 23² ou a multiplicação por 2,5. Mantenha a calma e confira cada linha!
A Bússola (O Perfil do Culpado)
Síntese do raciocínio: Nosso alvo é 3750. A piscina C1 acertou na mosca (3750). Entre as outras, a P2 foi a que chegou mais perto (3840, errando por só 90), enquanto as outras erraram por 150, 217 ou 774.
Expectativa: A resposta tem que ser a dupla C1 e P2.
PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
a) C1 e P2.
Análise de Correspondência: Perfeito! C1 é o volume exato (3750) e P2 é a maior proximidade (3840) entre todos os projetos apresentados.
Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
b) C1 e C3.
A “Narrativa do Erro”: O aluno acerta a C1, mas na hora de escolher a segunda, ele não calcula a P2 ou erra a conta da C3, achando que ela está mais perto.
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo. A C3 (3967,5) está bem mais longe do alvo do que a P2 (3840).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
c) C2 e P1.
A “Narrativa do Erro”: Aqui o investigador se perdeu totalmente nos cálculos ou ignorou a C1.
O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. Escolheu as opções com grandes margens de erro (150 e 774 unidades de diferença).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
d) C3 e P2.
A “Narrativa do Erro”: O aluno ignora a melhor opção de todas, que é a C1 (volume exato), e foca em duas aproximadas.
O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo. Deixa de fora o projeto que atende perfeitamente ao pedido (“mesmo volume”).
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
e) P1 e P2.
A “Narrativa do Erro”: O aluno acredita que as novas piscinas precisam ter o mesmo formato da original (paralelepípedo), ignorando as cilíndricas.
O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Tema. O enunciado diz explicitamente que o proprietário quer o mesmo volume, não necessariamente o mesmo formato.
Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
A resposta final é A, brutalmente confirmada pelos números: C1 (3750 m³) é a cópia fiel e P2 (3840 m³) é a aproximação mais leal à piscina original de 3750 m³.
Resumo-flash (A Imagem Mental): O alvo é 3750; C1 é o alvo e P2 é o tiro que quase acertou o centro.
Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Esse conceito de Equivalência Volumétrica é o que permite, por exemplo, que a indústria de perfumes crie frascos com formatos artísticos e complexos (cilindros, poliedros, gotas) garantindo que todos contenham exatamente os mesmos 100ml. A geometria muda para agradar aos olhos, mas o volume permanece constante para não enganar o bolso!
