Dentre outros objetos de pesquisa, a Alometria estuda a relação entre medidas de diferentes partes do corpo humano. Por exemplo, segundo a Alometria, a área A da superfície corporal de uma pessoa relaciona-se com a sua massa m pela fórmula A = k⋅m2/3, em que k é uma constante positiva.
Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?
A) ∛16
B) 4
C) √24
D) 8
E) 64
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Álgebra Básica
- Propriedades da Potenciação (Potência de Potência e Expoente Fracionário)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Análise de variação de grandezas em uma fórmula de proporcionalidade com expoente fracionário.
🎯 Nível da Questão: Médio – A questão é considerada de nível médio porque, embora a substituição de valores seja direta, ela exige o domínio de propriedades de potenciação, especificamente como lidar com um expoente fracionário (2/3) e a potência de um produto. Um aluno que não esteja confortável com essas regras de álgebra pode facilmente se confundir no cálculo.
✅ Gabarito: B) 4. A alternativa está correta. Como a área é proporcional a m^(2/3), ao multiplicar a massa por 8, a área é multiplicada por 8^(2/3), que é igual a (∛8)² = 2² = 4.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se no período que vai da infância até a maioridade de um indivíduo sua massa é multiplicada por 8, por quanto será multiplicada a área da superfície corporal?“
O que está sendo pedido?📌
A questão nos dá uma fórmula que relaciona a área corporal (A) com a massa (m) de uma pessoa. Ela nos informa que a massa aumentou 8 vezes e quer saber qual foi o fator de aumento correspondente na área corporal.
Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é usar a fórmula A = k⋅m^(2/3) para descobrir a relação entre a área nova (A_nova) e a área antiga (A_antiga) quando a massa nova (m_nova) é igual a 8 vezes a massa antiga (m_antiga).
Pergunta de Atenção ✔
Você percebe que a relação entre área e massa não é linear? Por causa do expoente 2/3, se a massa dobra, a área não dobra. Entender o efeito desse expoente é a chave para resolver o problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Explicação de termos📌
Para resolver este problema, precisamos ser craques nas propriedades da potenciação:
- Expoente Fracionário:
- Explicação: Um expoente na forma de fração, como x^(a/b), é apenas uma outra forma de escrever uma raiz. O denominador da fração (b) vira o índice da raiz, e o numerador (a) continua como um expoente.
- Fórmula: x^(a/b) = ᵇ√(xᵃ) ou (ᵇ√x)ᵃ
- No Problema: m^(2/3) significa a raiz cúbica de m ao quadrado (∛(m²)), ou o quadrado da raiz cúbica de m ((∛m)²). A segunda forma é geralmente mais fácil para calcular.
- Potência de um Produto:
- Explicação: Quando temos um produto elevado a um expoente, podemos “distribuir” o expoente para cada fator do produto.
- Fórmula: (x * y)ⁿ = xⁿ * yⁿ
- No Problema: Quando tivermos (8 * m)^(2/3), poderemos separar em 8^(2/3) * m^(2/3).
- Potência de Potência:
- Explicação: Quando temos uma base elevada a um expoente, e tudo isso elevado a outro expoente, nós mantemos a base e multiplicamos os expoentes.
- Fórmula: (xᵃ)ᵇ = xᵃ*ᵇ
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 📌
Imagine que temos uma “máquina de calcular área”. A regra da máquina é: “Me dê a massa (m), eu vou tirar a raiz cúbica dela, elevar o resultado ao quadrado, e multiplicar por uma constante k para te dar a área (A)”.
O problema diz que a massa de uma pessoa foi multiplicada por 8 (ela ficou 8 vezes mais pesada). A pergunta é: se colocarmos essa nova massa na máquina, o resultado da área será quantas vezes maior que o resultado antigo?
Estratégia Geral 📌
A estratégia é criar duas equações (uma para a situação “antes” e outra para a “depois”) e compará-las.
- Escrever a fórmula para a situação inicial: A_inicial = k * (m_inicial)^(2/3).
- Escrever a fórmula para a situação final: Substituir m por 8 * m_inicial na fórmula.
- Simplificar a fórmula final: Usar as propriedades de potência para isolar o fator numérico que aparece.
- Comparar as duas fórmulas: Dividir a fórmula final pela inicial para encontrar o fator de multiplicação.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos executar nossa estratégia.
1. Situação Inicial:
- A fórmula é dada: A_inicial = k * m^(2/3)
(Vamos chamar A_inicial de A₁ e m de m₁)
A₁ = k * m₁^(2/3)
2. Situação Final:
- A nova massa (m₂) é 8 vezes a massa inicial: m₂ = 8 * m₁
- A nova área (A₂) será calculada com a nova massa:
A₂ = k * (m₂)^(2/3) - Substituindo m₂:
A₂ = k * (8 * m₁)^(2/3)
3. Simplificação Algébrica da Situação Final:
- Usando a propriedade da potência de um produto, podemos separar os termos:
A₂ = k * [ 8^(2/3) * m₁^(2/3) ] - Agora, vamos focar em calcular o valor numérico de 8^(2/3). Usando a propriedade do expoente fracionário:
8^(2/3) = (∛8)² - Primeiro, calculamos a raiz cúbica de 8:
∛8 = 2 (porque 2 * 2 * 2 = 8) - Agora, elevamos o resultado ao quadrado:
(2)² = 4 - Então, 8^(2/3) = 4.
- Substituindo este valor de volta na equação de A₂:
A₂ = k * [ 4 * m₁^(2/3) ]
4. Comparação Final:
- Vamos reorganizar a equação de A₂ para ficar parecida com a de A₁:
A₂ = 4 * [ k * m₁^(2/3) ] - Observe que o termo entre colchetes [ k * m₁^(2/3) ] é exatamente a nossa fórmula para a área inicial, A₁.
- Portanto, podemos substituir:
A₂ = 4 * A₁
Conclusão: A nova área (A₂) é 4 vezes a área inicial (A₁). A área da superfície corporal foi multiplicada por 4.
Verificação Intermediária 📌
O resultado faz sentido. Como o expoente (2/3) é menor que 1, a área cresce mais devagar que a massa. Um aumento de 8 vezes na massa resultou em um aumento de 4 vezes na área.
Possível armadilha ❓/ ✔
A principal armadilha é a manipulação do expoente fracionário. Alguém poderia multiplicar 8 por 2/3, ou calcular 8² e depois tentar tirar a raiz cúbica, o que seria muito mais difícil (∛64 = 4, funciona também, mas é mais complicado). A maneira mais fácil é sempre calcular a raiz primeiro e depois elevar à potência. Outra armadilha seria pensar que a relação é linear e responder 8 (Alternativa D).
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo algébrico nos levou a um fator de multiplicação de 4. Vamos agora procurar este resultado nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) ∛16
B) 4
C) √24
D) 8
E) 64
Justificativa Individual
- 🔴 A) ∛16: Incorreta. Este valor (aproximadamente 2,52) não corresponde ao cálculo.
- 🟢 B) 4: Correta. É o valor exato de 8 elevado à potência de 2/3.
- 🔴 C) √24: Incorreta. Este valor (aproximadamente 4,9) não corresponde ao cálculo.
- 🔴 D) 8: Incorreta. Esta seria a resposta se a relação entre área e massa fosse linear (A = k⋅m), o que é falso.
- 🔴 E) 64: Incorreta. Este seria o resultado de 8², ignorando o denominador do expoente.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📌
A área (A) é proporcional à massa (m) elevada à potência de 2/3. Quando a massa é multiplicada por 8, a área é multiplicada pelo fator 8^(2/3). Calculando essa potência, temos (∛8)² = 2² = 4. Portanto, a área da superfície corporal é multiplicada por 4.
Gabarito Reafirmado 📌
A alternativa correta é a B) 4.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para fixar: Ao lidar com expoentes fracionários como x^(a/b), lembre-se da regra: “quem está por baixo vai pra raiz, quem está por cima fica na potência”. Calcule a raiz primeiro, pois geralmente simplifica o número antes de você ter que elevá-lo.
