A prefeitura de uma cidade planeja construir três postos de saúde. Esses postos devem ser construídos em locais equidistantes entre si e de forma que as distâncias desses três postos ao hospital dessa cidade sejam iguais. Foram conseguidos três locais para a construção dos postos de saúde que apresentam as características desejadas, e que distam 10 km entre si, conforme o esquema, no qual o ponto H representa o local onde está construído o hospital; os pontos P1, P2 e P3, os postos de saúde; e esses quatro pontos estão em um mesmo plano.
A distância, em quilômetro, entre o hospital e cada um dos postos de saúde, é um valor entre
A) 2 e 3.
B) 4 e 5.
C) 5 e 6.
D) 7 e 8.
E) 8 e 9.
Resolução em texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria plana: triângulo equilátero e cálculo de altura.
- Propriedades do baricentro e fórmulas de geometria.
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Letra C.
1º Passo: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Comando da Questão:
Determinar a distância entre o hospital (baricentro) e qualquer um dos postos de saúde, dados os locais em um triângulo equilátero.
Palavras-chave:
- “Triângulo equilátero”
- “Baricentro”
- “Distância”
Objetivo:
Calcular a altura do triângulo equilátero formado pelos postos de saúde e determinar a parte correspondente à distância entre o hospital e qualquer posto.
Dica Geral:
⚠️ Lembre-se que o baricentro divide a altura de um triângulo em duas partes proporcionais: 
2º Passo: Tradução e Interpretação do Texto
- Os três postos de saúde estão localizados em vértices de um triângulo equilátero, cada lado com comprimento de 10 km.
- O hospital está no baricentro do triângulo, equidistante de todos os três vértices.
- O baricentro divide a altura do triângulo em duas partes:
- Do baricentro ao vértice: 2/3 da altura total.
- Do baricentro à base oposta: 1/3 da altura total.
3º Passo: Explicação de Conceitos Necessários
- Triângulo Equilátero e Altura:
A altura (h) de um triângulo equilátero é calculada como:
onde LLL é o comprimento do lado do triângulo. - Divisão pelo Baricentro:
O baricentro divide a altura em duas partes proporcionais, sendo 2/3 da altura total a distância entre o baricentro (hospital) e o vértice (postos de saúde). - Aproximação de
Para os cálculos, utilizaremos≈1,7, conforme indicado na questão.
4º Passo: Cálculos
- Cálculo da altura total do triângulo (h): Substituindo L=10 km,
- Distância entre o baricentro (hospital) e um vértice (posto): Como o baricentro está a 2/3
- Intervalo de distância:
A distância calculada (5,67 km) está entre 5 km e 6 km, o que corresponde à letra C.
Dica Geral:
⚠️ Sempre considere as proporções do baricentro ao calcular as partes da altura.
5º Passo: Conclusão e Justificativa Final
Conclusão:
A distância entre o hospital e qualquer um dos postos de saúde é 5,67 km, estando entre 5 km e 6 km. A alternativa correta é C.
Resumo Final:
O hospital está localizado no baricentro do triângulo equilátero, e sua distância aos postos de saúde é determinada como 2/3 da altura do triângulo, resultando em um valor de aproximadamente 5,67 km.
