Em uma determinada estrada existem dois telefones instalados no acostamento: um no quilômetro 30 e outro no quilômetro 480. Entre eles serão colocados mais 8 telefones, mantendo-se entre dois telefones consecutivos sempre a mesma distância.
Qual a sequência numérica que corresponde à quilometragem em que os novos telefones serão instalados?
A) 30, 90, 150, 210, 270, 330, 390, 450
B) 75, 120, 165, 210, 255, 300, 345, 390
C) 78, 126, 174, 222, 270, 318, 366, 414
D)80, 130, 180, 230, 280, 330, 380, 430
E) 81, 132, 183, 234, 285, 336, 387, 438
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Progressão Aritmética (PA), Raciocínio Lógico, Divisão.
- Tema/Objetivo Geral: Determinar os termos de uma sequência numérica (Progressão Aritmética) a partir de seus extremos e do número de termos a serem inseridos.
- Nível da Questão: Médio. A questão é classificada como média porque sua resolução depende de uma percepção crucial que frequentemente é uma fonte de erro: a relação entre o número de objetos (telefones) e o número de espaços (intervalos) entre eles. O cálculo em si é simples, mas a lógica para montá-lo exige atenção.
- Gabarito: D) 80, 130, 180, 230, 280, 330, 380, 430. A distância total de 450 km, dividida em 9 vãos iguais, resulta em uma distância de 50 km entre cada telefone consecutivo. Partindo do km 30, a adição sucessiva de 50 km gera esta sequência.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir a localização exata, em quilômetros, dos 8 novos telefones que serão instalados entre os quilômetros 30 e 480, garantindo que o espaçamento entre todos os telefones consecutivos seja idêntico.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine uma prateleira vazia. É preciso colocar um livro no início (posição 30) e um no final (posição 480). O desafio é, então, posicionar mais 8 livros entre eles de forma que a distância entre um livro e o próximo seja sempre a mesma. A pergunta é: em quais posições exatas esses 8 novos livros devem ser colocados?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar o caso será:
- Calcular o Espaço Total: Determinar a distância total em quilômetros que precisa ser dividida.
- Determinar o Número de Vãos: Descobrir em quantos espaços (intervalos) iguais essa distância total será dividida. Este é o passo mais crítico.
- Calcular o Tamanho de Cada Vão: Dividir a distância total pelo número de vãos para encontrar o espaçamento constante entre os telefones.
- Gerar a Sequência: A partir do primeiro telefone (km 30), somar repetidamente o tamanho do vão para encontrar a posição de cada um dos novos telefones.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal aqui é a compreensão do “Problema dos Vãos e Postes” (ou Intervalos e Termos). É um princípio lógico fundamental.
🧠 Fluxograma de Raciocínio (O Princípio dos Intervalos) 🧠
- Observação Inicial: Quantos telefones existirão na estrada no total após a instalação?
- 2 (existentes) + 8 (novos) = 10 telefones no total.
- ⬇️
- Visualização do Problema: Imagine os 10 telefones alinhados.
- T₁ — T₂ — T₃ — T₄ — T₅ — T₆ — T₇ — T₈ — T₉ — T₁₀
- ⬇️
- Contagem dos Espaços: Quantos “vãos” ou “intervalos” (representados por “—“) existem entre os 10 telefones?
- Contando os espaços, percebe-se que há 9 intervalos.
- ⬇️
- A Regra Geral: O número de intervalos entre N objetos em linha é sempre N – 1.
- Neste caso: 10 telefones – 1 = 9 vãos.
Esta é a peça-chave: a distância total será dividida em 9 partes iguais, não em 8 ou 10.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Aplicando o plano de ataque com as ferramentas corretas.
- Calcular o Espaço Total:
- Distância = Posição Final – Posição Inicial
- Distância = 480 km – 30 km = 450 km.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
O erro mais comum aqui é um impulso de dividir a distância total (450 km) pelo número de novos telefones (8). Isso é uma armadilha lógica. Dividir por 8 significaria que haveria apenas 8 vãos, o que não é verdade, pois os 8 novos telefones, mais os 2 existentes, criam um total de 9 vãos.
- Determinar o Número de Vãos:
- Conforme a lógica do Passo 2, com 10 telefones no total, teremos 9 vãos de mesma distância.
- Calcular o Tamanho de Cada Vão:
- Tamanho do Vão = Distância Total / Número de Vãos
- Tamanho do Vão = 450 km / 9 = 50 km.
- Este valor (50 km) é a “razão” da nossa Progressão Aritmética.
- Gerar a Sequência:
- O ponto de partida é o km 30. Cada novo telefone estará 50 km à frente do anterior.
- 1º Novo Telefone: 30 + 50 = 80
- 2º Novo Telefone: 80 + 50 = 130
- 3º Novo Telefone: 130 + 50 = 180
- 4º Novo Telefone: 180 + 50 = 230
- 5º Novo Telefone: 230 + 50 = 280
- 6º Novo Telefone: 280 + 50 = 330
- 7º Novo Telefone: 330 + 50 = 380
- 8º Novo Telefone: 380 + 50 = 430
- (Verificação: 430 + 50 = 480, que é a posição do último telefone. O cálculo está correto.)
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A distância de 450 km entre os telefones originais é dividida em 9 intervalos iguais de 50 km. A sequência dos novos telefones começa em 80 (30 + 50) e progride somando 50 a cada termo.
- Expectativa: A alternativa correta deve ser uma sequência que começa com 80 e na qual cada número subsequente é 50 unidades maior que o anterior.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 30, 90, 150, 210, 270, 330, 390, 450
- A Narrativa do Erro: Inclui o ponto inicial (30) na resposta, o que é incorreto, pois a questão pede apenas pelos novos telefones. Além disso, a razão é de 60, não 50.
- Diagnóstico do Erro: Inclusão de Termo Existente e Erro de Cálculo da Razão.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 75, 120, 165, 210, 255, 300, 345, 390
- A Narrativa do Erro: O primeiro termo (75) e a razão (45) estão incorretos. Provavelmente resultam da divisão de 450 por 10 (45).
- Diagnóstico do Erro: Erro na Contagem de Intervalos (dividir pelo número de telefones).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
C) 78, 126, 174, 222, 270, 318, 366, 414
- A Narrativa do Erro: Essa sequência tem uma razão de 48 (126 – 78 = 48). Este valor não surge de uma divisão lógica dos dados do problema, funcionando como um distrator puramente numérico.
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema (a sequência não tem relação lógica com os dados).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 80, 130, 180, 230, 280, 330, 380, 430
- Análise de Correspondência: Esta sequência corresponde perfeitamente à “Expectativa”. Começa em 80 e a diferença constante entre os termos é de 50.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
E) 81, 132, 183, 234, 285, 336, 387, 438
- A Narrativa do Erro: A razão aqui é 51 (132 – 81 = 51). Resulta de um erro de cálculo na divisão (por exemplo, 450 / 9 calculado incorretamente).
- Diagnóstico do Erro: Erro de Cálculo.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (D), demonstrando que a chave para resolver problemas de espaçamento é focar nos “vãos” entre os objetos, e não nos objetos em si.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): Para postes em uma cerca, o número de vãos é sempre o total de postes menos um.
- 🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio lógico é fundamental em Engenharia Civil. Ao projetar uma ponte, um engenheiro precisa saber quantos pilares de sustentação colocar. Se uma ponte de 500 metros precisa de pilares a cada 50 metros, não se divide 500 por 50 para obter 10 pilares. A conta correta leva em conta os 10 vãos de 50 metros, o que exige 11 pilares (um no início, um no fim e 9 no meio). O erro de não contar o pilar inicial ou final pode comprometer toda a estrutura. A lógica usada para instalar telefones é a mesma usada para garantir que uma ponte não desabe.
