Considere que os quarteirões de um bairro tenham sido desenhados no sistema cartesiano, sendo a origem o cruzamento das duas ruas mais movimentadas desse bairro. Nesse desenho, as ruas têm suas larguras desconsideradas e todos os quarteirões são quadrados de mesma área e a medida de seu lado é a unidade do sistema.
A seguir há uma representação dessa situação, em que os pontos A, B, C e D representam estabelecimentos comerciais desse bairro.
Suponha que uma rádio comunitária, de fraco sinal, garante área de cobertura para todo estabelecimento que se encontre num ponto cujas coordenadas satisfaçam à inequação: x² + y² – 2x – 4y – 31 ≤ 0.
A fim de avaliar a qualidade do sinal, e proporcionar uma futura melhora, a assistência técnica da rádio realizou uma inspeção para saber quais estabelecimentos estavam dentro da área de cobertura, pois estes conseguem ouvir a rádio enquanto os outros não.
Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas
A) A e C.
B) B e C.
C) B e D.
D) A, B e C.
E) B, C e D.
Resolução em Texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Inequação da circunferência
- Geometria analítica (completar quadrado)
- Interpretação de pontos no plano cartesiano
- Distância e raio
📔 Nível da Questão:
- Difícil – Exige reconhecer uma equação geral da circunferência disfarçada em forma de inequação, saber completar quadrado e interpretar graficamente quais pontos estão dentro da região delimitada.
✅ Gabarito:
- Letra D
🎯 Tema/Objetivo Geral:
- Geometria Analítica – Circunferência no plano cartesiano com inequações
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1️⃣ Comando Essencial:
“Os estabelecimentos que conseguem ouvir a rádio são apenas”
2️⃣ O que está sendo pedido?
Identificar quais pontos (entre A, B, C e D) estão dentro ou sobre a região delimitada pela inequação da circunferência.
3️⃣ Objetivo Cristalino:
Verificar quais coordenadas satisfazem a inequação da circunferência, ou seja, estão dentro da área de cobertura.
4️⃣ Dica Geral:
Quando o enunciado traz
x² + y² + ... ≤ 0, a estrutura é de circunferência centrada fora da origem. Completar quadrado ajuda a achar centro e raio!
5️⃣ ✔ Pergunta de Atenção:
Você sabia que podemos descobrir o centro e o raio de uma circunferência mesmo que ela não esteja escrita na forma padrão?
6️⃣ 💬 Dúvida Comum:
Muita gente vê uma inequação e pensa que é sistema ou função. Mas aqui ela representa área interna de uma circunferência, e exige interpretação geométrica e algébrica combinadas.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
A equação geral da circunferência pode aparecer assim:x² + y² + Dx + Ey + F = 0
Para identificar o centro (x₀, y₀) e o raio (r), usamos completar quadrado:
- Agrupamos os termos de x e y
- Completamos quadrado para
x² + Dx→ forma(x – x₀)² - Idem para
y² + Ey→ forma(y – y₀)² - O que sobra será ajustado para manter igualdade
A inequação ≤ representa a área dentro ou sobre a circunferência
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
A inequação fornecida é:
- x² + y² – 2x – 4y – 31 ≤ 0
Vamos organizar:
- Agrupar por variável:
(x² – 2x) + (y² – 4y) ≤ 31
- Completar quadrado:
x² – 2x→ completa com(+1)
→(x – 1)² = x² – 2x + 1y² – 4y→ completa com(+4)
→(y – 2)² = y² – 4y + 4
- Ajustar o lado direito:
- Se adicionamos
+1e+4no lado esquerdo, devemos adicionar também no lado direito- (x – 1)² + (y – 2)² ≤ 36
- Se adicionamos
🔎 Interpretação:
- Centro: (1, 2)
- Raio: √36 = 6
- A região da inequação é a área dentro da circunferência de raio 6 centrada em (1,2)
Agora, vamos analisar os pontos A, B, C, D no gráfico.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Vamos verificar quais pontos estão a uma distância menor ou igual a 6 unidades do centro (1, 2).
Usaremos a fórmula da distância:
d = √[(x – 1)² + (y – 2)²] ≤ 6
📍 Coordenadas dos pontos (contadas na malha):
- A → (4, 7)
- B → (–4, 3)
- C → (2, –2)
- D → (–5, –5)
📌 Cálculo da distância para cada ponto:
🔸 Ponto A (4,7)
d² = (4 – 1)² + (7 – 2)² = 3² + 5² = 9 + 25 = 34 → ✅ dentro
🔸 Ponto B (–4,3)
d² = (–4 – 1)² + (3 – 2)² = (–5)² + 1² = 25 + 1 = 26 → ✅ dentro
🔸 Ponto C (2, –2)
d² = (2 – 1)² + (–2 – 2)² = 1² + (–4)² = 1 + 16 = 17 → ✅ dentro
🔸 Ponto D (–5, –5)
d² = (–5 – 1)² + (–5 – 2)² = (–6)² + (–7)² = 36 + 49 = 85 → ❌ fora
⚠️ A alternativa correta deve conter A, B e C
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
A) A e C → ❌ Incompleta (faltou B)
B) C e B → ❌ Incompleta (faltou A)
C) B e D → ❌ D está fora da circunferência
D) A, B e C → ✅ Correto! Todos com d² ≤ 36
E) C e D → ❌ D está fora
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
✅ A inequação representa uma circunferência centrada em (1,2) com raio 6.
Apenas os pontos A (4,7), B (–4,3) e C (2,–2) estão dentro da área de cobertura, pois suas distâncias ao centro são menores ou iguais a 6.
✅ Gabarito: Letra D
