Certa empresa de telefonia oferece a seus clientes dois pacotes de serviço:
• Pacote laranja Oferece 300 minutos mensais de ligação local e o usuário deve pagar R$ 143,00 por mês. Será cobrado o valor de R$ 0,40 por minuto que exceder o valor oferecido.
• Pacote azul Oferece 100 minutos mensais de ligação local e o usuário deve pagar mensalmente R$ 80,00. Será cobrado o valor de R$ 0,90 por minuto que exceder o valor oferecido.
Para ser mais vantajoso contratar o pacote laranja, comparativamente ao pacote azul, o número mínimo de minutos de ligação que o usuário deverá fazer é
A) 70.
B) 126.
C) 171.
D) 300.
E) 400.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Funções de 1º Grau (ou Funções Afins)
- Inequações de 1º Grau
- Interpretação de Problemas
Tema/Objetivo Geral: Análise Comparativa de Custos e Modelagem Matemática.
Nível da Questão: Médio – A questão exige que o aluno traduza um problema do cotidiano em um modelo matemático (duas funções de custo) e resolva uma inequação. O nível é médio porque é preciso interpretar corretamente as condições de cada plano (os limites de minutos) e entender que a variável na equação não representa o total de minutos, mas sim os minutos excedentes, o que é uma fonte comum de erros.
Gabarito: C) 171. A alternativa está correta porque 171 é o primeiro número inteiro de minutos em que o valor pago pelo pacote Laranja se torna estritamente menor que o valor pago pelo pacote Azul.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Para ser mais vantajoso contratar o pacote laranja, comparativamente ao pacote azul, o número mínimo de minutos de ligação que o usuário deverá fazer é”
O que está sendo pedido?
O exercício quer que a gente encontre a quantidade mínima de minutos totais de ligação para que o custo do pacote Laranja seja menor que o custo do pacote Azul.
Objetivo Cristalino
Vamos determinar o número de minutos t para o qual a seguinte condição é verdadeira: Custo(Laranja) < Custo(Azul).
Pergunta de Atenção
Você reparou que a cobrança extra só acontece depois que os minutos da franquia acabam? Esse detalhe é a chave para montar as equações corretamente!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver, vamos modelar o custo de cada plano como uma função, onde o custo depende do número de minutos utilizados.
- Função Custo: É uma fórmula que nos diz o preço a pagar (y) com base em uma variável (neste caso, t, o total de minutos).
Vamos definir as funções de custo para cada plano, sendo t o total de minutos de ligação:
1. Custo do Pacote Laranja (C_L):
- Se t ≤ 300, o custo é fixo: C_L(t) = 143
- Se t > 300, o custo é a mensalidade mais o valor dos minutos extras: C_L(t) = 143 + 0,40 * (t – 300)
2. Custo do Pacote Azul (C_A):
- Se t ≤ 100, o custo é fixo: C_A(t) = 80
- Se t > 100, o custo é a mensalidade mais o valor dos minutos extras: C_A(t) = 80 + 0,90 * (t – 100)
O termo (t – 100) ou (t – 300) é crucial, pois representa apenas os minutos que excederam a franquia.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada
Pense assim: o plano Azul é mais barato se você fala pouco. O plano Laranja é mais caro no início, mas te dá um “seguro” maior contra gastos extras se você falar muito. Nós queremos descobrir exatamente em qual minuto de ligação o “seguro” do plano Laranja passa a valer a pena, ou seja, quando o custo total do plano Azul, com suas taxas extras altas, ultrapassa o preço fixo do plano Laranja.
Estratégia Geral
Nossa estratégia será:
- Identificar a faixa de minutos em que a comparação faz sentido (quando o custo do Azul já é variável, mas o do Laranja ainda é fixo).
- Encontrar o ponto exato em que os custos dos dois planos se tornam iguais.
- A partir desse ponto de igualdade, o próximo minuto será quando o Laranja se torna mais vantajoso.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
A comparação só é interessante na faixa em que o custo do plano Azul já começou a aumentar, mas o do Laranja ainda está no valor fixo. Isso acontece para um total de minutos t entre 100 e 300 (100 < t ≤ 300).
Nessa faixa:
- Custo Laranja = 143
- Custo Azul = 80 + 0,90 * (t – 100)
Vamos encontrar o ponto de equilíbrio, onde os custos são iguais:
Custo Laranja = Custo Azul
143 = 80 + 0,90 * (t – 100)
Agora, vamos resolver para t:
143 – 80 = 0,90 * (t – 100)
63 = 0,90 * (t – 100)
Dividindo os dois lados por 0,90:
63 / 0,90 = t – 100
70 = t – 100
Somando 100 aos dois lados:
t = 70 + 100
t = 170 minutos
Verificação Intermediária
O resultado t = 170 significa que, com exatamente 170 minutos de ligação, os dois planos custam a mesma coisa. Vamos verificar:
- Custo Laranja(170) = R$ 143,00 (pois 170 ≤ 300)
- Custo Azul(170) = 80 + 0,90 * (170 – 100) = 80 + 0,90 * 70 = 80 + 63 = R$ 143,00
A verificação confirma: os custos são idênticos em 170 minutos.
Possível armadilha
Uma armadilha muito comum seria parar no 70 e marcar a alternativa A. Lembre-se, o valor 70 representa os minutos excedentes do plano Azul, não o total de minutos. A conta correta é somar esses minutos à franquia inicial: 100 + 70 = 170. Outra armadilha seria responder 170, mas a pergunta pede o mínimo para ser mais vantajoso, não igual.
Fechamento e expectativa
Como em 170 minutos os custos são iguais, e o custo do plano Azul aumenta a cada minuto, no minuto seguinte, 171, o plano Azul se tornará mais caro. Portanto, 171 minutos é o mínimo para o plano Laranja ser mais vantajoso. Esperamos encontrar 171 nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
Listagem das Alternativas
A) 70.
B) 126.
C) 171.
D) 300.
E) 400.
Justificativa Individual
- A) 70 🔴 Incorreta. Este é o número de minutos extras no plano Azul que fazem o custo igualar o do Laranja, não o total de minutos.
- B) 126 🔴 Incorreta. Com 126 minutos, o custo do plano Azul é 80 + 0,90 * (126 – 100) = 80 + 0,90 * 26 = 80 + 23,40 = R$ 103,40. Este valor é menor que os R$ 143,00 do plano Laranja, então o Azul ainda é mais vantajoso.
- C) 171 🟢 Correta. Como vimos, em 170 minutos os custos são iguais. Em 171 minutos, o custo do Azul será 80 + 0,90 * (171-100) = R$ 143,90, que é maior que os R$ 143,00 do Laranja. É o primeiro minuto em que o Laranja é mais vantajoso.
- D) 300 🔴 Incorreta. Com 300 minutos, o plano Laranja ainda custa R$ 143,00, enquanto o azul custa ’80 + 0,90 * (300 – 100) = R$ 260,00 . O plano Laranja já é mais vantajoso, mas 300 não é o número mínimo de minutos para que isso aconteça.
- E) 400 🔴 Incorreta. Semelhante à alternativa D, o plano Laranja é mais vantajoso, mas não é o valor mínimo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio
Nós modelamos os custos de cada plano como funções, identificamos a faixa de minutos relevante para a comparação e calculamos o ponto de equilíbrio onde os custos se igualam (170 minutos). Como a pergunta pedia o mínimo para o plano Laranja ser mais vantajoso, a resposta é o minuto inteiro seguinte, 171.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 171.
Resumo Final para Revisão 🔍
Para comparar planos com taxas fixas e variáveis, a estratégia mais eficaz é encontrar o “ponto de virada” igualando os custos. A vantagem para um dos planos começa logo após esse ponto de equilíbrio.
