Uma pequena fábrica vende seus bonés em pacotes com quantidades de unidades variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) = −x² + 12x − 20, onde x representa a quantidade de bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro máximo.
Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a:
A) 4.
B) 6.
C) 9.
D) 10.
E) 14.
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Quadrática (Função do 2º Grau)
- Vértice da Parábola
- Interpretação de Problemas de Máximo e Mínimo
Tema/Objetivo Geral: Aplicação dos conceitos de vértice da parábola para encontrar o ponto de máximo de uma função quadrática que modela o lucro.
Nível da Questão: Fácil.
- Por quê? A questão é uma aplicação direta e clássica da fórmula do X do Vértice (Xv) de uma função quadrática. Não há grandes interpretações ou cálculos complexos, apenas a identificação dos coeficientes e a aplicação da fórmula correta.
Gabarito: Alternativa B.
- Resumo: O problema pede a quantidade de bonés (x) que gera o lucro máximo. Isso corresponde exatamente à coordenada x do vértice da parábola descrita pela função de lucro.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial
“Para obter o lucro máximo nas vendas, os pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual a…”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar o valor de x (quantidade de bonés) que faz com que a função de lucro L(x) atinja seu valor máximo.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é identificar que a função L(x) = -x² + 12x – 20 é uma função quadrática com concavidade para baixo (pois o coeficiente de x² é negativo) e, portanto, possui um ponto de máximo. Vamos calcular a coordenada x desse ponto, que é o X do Vértice (Xv).
🧠 A pergunta é sobre a quantidade de bonés (x) para o lucro máximo, ou sobre o valor do lucro máximo (y)? Prestar atenção nisso é fundamental para saber se devemos usar a fórmula do X do Vértice ou do Y do Vértice! Neste caso, é o x.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos
- Função Quadrática: Uma função na forma f(x) = ax² + bx + c. Seu gráfico é uma parábola.
- Concavidade e Ponto de Máximo/Mínimo:
Se a > 0 (positivo), a parábola tem concavidade para cima (“carinha feliz”) e possui um ponto de mínimo.
Se a < 0 (negativo), a parábola tem concavidade para baixo (“carinha triste”) e possui um ponto de máximo.
- Vértice da Parábola: É o ponto onde a parábola “faz a curva”, sendo o ponto de máximo ou mínimo da função. Suas coordenadas são (Xv, Yv).
- Fórmula do X do Vértice (Xv): Xv = -b / (2a)
O Xv nos dá o valor de x que gera o resultado máximo ou mínimo da função.
- Fórmula do Y do Vértice (Yv): Yv = -Δ / (4a)
O Yv nos dá o valor máximo ou mínimo que a função pode atingir.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
A fábrica descobriu uma fórmula mágica para o lucro: L(x) = -x² + 12x – 20. Se eles venderem poucos bonés no pacote, o lucro é baixo. Se venderem muitos, o lucro também cai (talvez por custos de empacotamento ou descontos). Existe um “ponto ideal”, uma quantidade exata de bonés por pacote que dá o maior lucro possível. Nossa missão é encontrar esse número.
Estratégia Geral
- Identificar os coeficientes a e b da função L(x).
- Verificar que a é negativo, confirmando que a função tem um ponto de máximo.
- Aplicar a fórmula Xv = -b / (2a) para encontrar a quantidade de bonés (x) que maximiza o lucro.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado
1. Identificar a função e seus coeficientes:
- Função de Lucro: L(x) = -x² + 12x – 20
- Comparando com ax² + bx + c:
- a = -1
- b = 12
- c = -20
2. Verificar o tipo de vértice:
- Como a = -1 (negativo), a parábola tem concavidade para baixo, o que significa que o vértice é um ponto de máximo. Isso confirma que estamos no caminho certo para encontrar o “lucro máximo”.
3. Aplicar a fórmula do X do Vértice (Xv):
A questão pede a quantidade de bonés (x), então usamos a fórmula do Xv.
- Xv = -b / (2a)
- Xv = -(12) / (2 . -1)
- Xv = -12 / -2
- Xv = 6
Verificação Intermediária 🧐
O cálculo nos diz que a quantidade de bonés por pacote que maximiza o lucro é de 6 unidades.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha seria confundir o que a questão pede e calcular o Y do Vértice (Yv), que seria o valor do lucro máximo, e não a quantidade de bonés.
- Cálculo do Yv (apenas para demonstração):
- Δ = b² – 4ac = 12² – 4(-1)(-20) = 144 – 80 = 64
- Yv = -Δ / 4a = -64 / (4 . -1) = -64 / -4 = 16.
- O lucro máximo é de 16, mas a questão não pergunta isso.
Fechamento e expectativa
Nosso cálculo preciso nos levou ao valor x = 6. Vamos verificar se essa resposta está entre as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 4
Incorreta.
🟢 B) 6
Correta. Corresponde exatamente ao valor do X do Vértice que calculamos.
🔴 C) 9
Incorreta.
🔴 D) 10
Incorreta.
🟡 E) 14
A que mais confunde? Não há uma armadilha clara nesta alternativa, mas poderia ser o resultado de um erro de sinal na fórmula, por exemplo: Xv = b / (2a) = 12 / -2 = -6, que seria descartado por ser negativo, ou Xv = -b / a = -12/-1 = 12. O mais provável é que qualquer erro de cálculo simples leve a um resultado que não está nas alternativas.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
O problema pedia a quantidade de bonés (x) para obter o lucro máximo. Identificamos a função de lucro como uma parábola com concavidade para baixo e aplicamos a fórmula do X do Vértice (Xv = -b / 2a) para encontrar o valor de x que corresponde ao ponto de máximo.
Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, pois os pacotes devem conter 6 bonés para atingir o lucro máximo.
Resumo Final para Revisão
Sempre que um problema com função quadrática pedir o “valor que maximiza/minimiza” algo, ele está pedindo o X do Vértice. Se pedir o “valor máximo/mínimo”, ele quer o Y do Vértice. Ler a pergunta com atenção é 90% do caminho
