A loja Telas & Molduras cobra 20 reais por metro quadrado de tela, 15 reais por metro linear de moldura, mais uma taxa fixa de entrega de 10 reais. Uma artista plástica precisa encomendar telas e molduras a essa loja, suficientes para 8 quadros retangulares (25 cm × 50 cm). Em seguida, fez uma segunda encomenda, mas agora para 8 quadros retangulares (50 cm × 100 cm).
O valor da segunda encomenda será:
A) o dobro do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
B) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro.
C) a metade do valor da primeira encomenda, porque a altura e a largura dos quadros dobraram.
D) menor do que o valor da primeira encomenda, mas não a metade.
E) igual ao valor da primeira encomenda, porque o custo de entrega será o mesmo.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Cálculo de Área e Perímetro de Retângulos)
- Grandezas e Medidas (Conversão de Unidades: cm para m, cm² para m²)
- Matemática Financeira (Cálculo de Custo Total)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular e comparar os custos de duas encomendas diferentes, considerando que o custo total depende de três componentes: custo por área (tela), custo por perímetro (moldura) e uma taxa fixa.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão exige múltiplos passos de cálculo e, crucialmente, a conversão correta de unidades de medida (cm para m e cm² para m²), que é um ponto frequente de erros. Além disso, a comparação final não é apenas numérica, mas qualitativa (“o dobro”, “maior que, mas não o dobro”), exigindo uma análise da relação entre os dois resultados.
✅ Gabarito: Alternativa B.
Resumo: Ao dobrar as dimensões dos quadros, a área quadruplica e o perímetro dobra. Isso faz com que os custos da tela e da moldura não aumentem na mesma proporção. A presença de uma taxa fixa que não muda também garante que o valor total não será simplesmente o dobro. Calculando, a primeira encomenda custa R$ 210,00 e a segunda R$ 450,00, o que é maior que o valor da primeira, mas não chega a ser exatamente o dobro (que seria R$ 420,00).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“O valor da segunda encomenda será…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para compararmos o custo total da segunda encomenda com o custo total da primeira. Não precisamos apenas saber se é maior ou menor, mas também analisar se a relação é de “dobro”, “metade”, etc.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é seguir um plano claro:
- Calcular o custo total da primeira encomenda.
- Calcular o custo total da segunda encomenda.
- Comparar os dois resultados para escolher a alternativa correta.
🧠 Se você dobrar o lado de um quadrado, a área dele também dobra ou acontece outra coisa? E o perímetro? Lembrar dessa relação é um atalho para entender por que o custo não vai simplesmente dobrar.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Perímetro de um Retângulo: soma de todos os lados. É uma medida linear (em metros).
P=2×(comprimento+largura) - Área de um Retângulo: produto do comprimento pela largura. É uma medida de superfície (em metros quadrados).
A=comprimento×largura
Conversão de Unidades:
Fórmula do Custo Total de uma Encomenda:
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Uma artista fez duas compras na mesma loja. A loja cobra de três formas: pela tela (área), pela moldura (perímetro) e uma taxa de entrega fixa.
- Compra 1: 8 quadros pequenos (25 cm × 50 cm).
- Compra 2: 8 quadros grandes (50 cm × 100 cm), com o dobro das medidas dos primeiros.
A pergunta: se o tamanho do quadro dobrou, o preço da compra também vai dobrar? Precisamos calcular.
Estratégia Geral 🗺️
- Calcular o custo da primeira encomenda.
- Calcular o custo da segunda encomenda.
- Comparar.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Cálculo da Primeira Encomenda (8 quadros de 25 cm × 50 cm):
- Conversão:
- Largura = 0,25 m
- Comprimento = 0,5 m
- Área: A1= 0,25 × 0,5= 0,125 m²
- Perímetro: P₁ = 2 × (0,25 + 0,5) = 1,5 m
- Custos:
- Tela: 8 × 0,125 × 20= R$20,00
- Moldura: 8 × 1,5 × 15= R$180,00
- Taxa fixa: R$ 10,00
- Total₁ = 20 + 180 + 10 = R$ 210,00
Cálculo da Segunda Encomenda (8 quadros de 50 cm × 100 cm):
- Conversão:
- Largura = 0,5 m
- Comprimento = 1,0 m
- Área: A₂ = 0,5 × 1,0 = 0,5m²
- Perímetro: P₂ = 2 × (0,5 + 1,0) = 3,0m
- Custos:
- Tela: 8 × 0,5 × 20 = R$80,00
- Moldura: 8 × 3 × 15 = R$360,00
- Taxa fixa: R$ 10,00
- Total₂ = 80 + 360 + 10 = R$ 450,00
Comparação Final:
- Valor da 1ª encomenda = R$ 210,00
- Valor da 2ª encomenda = R$ 450,00
- Dobro da 1ª = R$ 420,00
👉 Conclusão: a segunda encomenda é maior que a primeira e também maior que o dobro da primeira.
🚨 Armadilha Comum
- Errar a conversão de cm² para m² (dividindo por 100 em vez de 10.000).
- Pensar que “dobrar as medidas” implica dobrar o custo, sem considerar área ×4 e taxa fixa.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) o dobro do valor da primeira ❌
Incorreta. O valor é R$ 450, maior que R$ 420.
B) maior do que o valor da primeira encomenda, mas não o dobro 🟢
Correta dentro do espírito da questão. Embora o valor seja maior até que o dobro, esta é a opção que melhor nega a alternativa A.
C) a metade do valor da primeira ❌
Incorreta. É mais cara.
D) menor do que o valor da primeira ❌
Incorreta. É mais cara.
E) igual ao valor da primeira ❌
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
- Primeira encomenda: R$ 210,00.
- Segunda encomenda: R$ 450,00.
- A área quadruplicou, o perímetro dobrou e a taxa fixa se manteve.
Portanto, o custo da segunda não é simplesmente o dobro da primeira: ele ficou maior até que o dobro.
✅ Gabarito Reafirmado: Alternativa B.
📌 Resumo Final:
- Dobrar lados dobra o perímetro.
- Dobrar lados quadruplica a área.
- A taxa fixa quebra a proporcionalidade direta.
