Uma indústria utiliza um índice de desempenho para as suas máquinas que é diretamente proporcional à quantidade total de peças produzidas e inversamente proporcional ao quadrado da quantidade de peças defeituosas produzidas. Em um semestre, cinco máquinas produziam a mesma quantidade T de peças, sendo D delas defeituosas. No semestre seguinte, houve uma alteração na quantidade total de peças produzidas por cada máquina e também na quantidade de peças defeituosas, de acordo com o quadro.
A máquina que manteve o mesmo índice de desempenho do semestre anterior foi a
A) I.
B) II.
C) III.
D) IV.
E) V.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Interpretação de Enunciado
- Grandezas Diretamente e Inversamente Proporcionais
- Manipulação Algébrica (Propriedades de Potências e Frações)
- Tema/Objetivo Geral:
- Aplicação de uma fórmula definida textualmente e análise comparativa de resultados.
- Nível da Questão:
- Médio. A questão não envolve cálculos numéricos complexos, mas exige um raciocínio algébrico abstrato e cuidadoso. A tradução do texto para a fórmula correta (T/D²) e a manipulação das expressões com potências são pontos onde a atenção ao detalhe é crucial, elevando o desafio para além do nível fácil.
- Gabarito:
- E) V. Esta é a máquina correta, pois as modificações em sua produção total e em suas peças defeituosas se anulam matematicamente, fazendo com que o novo índice de desempenho seja idêntico ao original.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é encontrar qual das cinco máquinas, após ter sua produção e seus defeitos alterados, terminou com o mesmíssimo índice de desempenho que tinha antes.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como calcular a “Reputação” de um vendedor online. A reputação aumenta com o Total de Vendas (T) e despenca com o quadrado das Reclamações (D). O quadrado significa que uma reclamação tem um peso devastador! No semestre passado, todos os vendedores tinham a mesma reputação. Agora, os números mudaram. Queremos encontrar o único vendedor que, milagrosamente, terminou com a mesma pontuação de reputação do início.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será uma perícia matemática em 4 fases:
- Decifrar a Lei: Primeiro, vamos traduzir a descrição do “índice de desempenho” do português para uma fórmula matemática clara.
- Estabelecer o Padrão: Vamos definir qual era o “índice de referência” do semestre anterior, que serve como nossa prova principal.
- Interrogar os Suspeitos: Vamos calcular o novo índice para cada uma das cinco máquinas, usando os dados da tabela.
- Identificar o Culpado: Compararemos cada novo índice com o de referência para encontrar a correspondência exata.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, nossa principal ferramenta é a habilidade de traduzir e manipular uma fórmula de proporcionalidade. Vamos organizar as informações em um dossiê.
Dossiê: O Índice de Desempenho (ID)
- Nome-Código: “A Fórmula da Eficiência”.
- Princípio de Funcionamento:
Diretamente proporcional à quantidade total de peças (T): Quanto mais peças produzidas, maior o índice. Simples e direto.
Inversamente proporcional ao QUADRADO da quantidade de peças defeituosas (D²): Quanto mais defeitos, menor o índice. O detalhe crucial é o quadrado: o impacto negativo dos defeitos cresce de forma exponencial. Dobrar os defeitos não divide o índice por 2, mas por 4! - Fórmula Revelada: Juntando as pistas, a lei que governa o desempenho é:
ID = (Total de Peças) / (Peças Defeitiosas)²
Ou, em nossa notação: ID = T / D²
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, a fase de coleta de provas. Vamos executar nosso plano e calcular o índice de cada suspeito.
Execução Sequencial:
- A Lei do Caso: A fórmula-mãe é Índice = T / D².
- O Padrão de Referência (A Prova Incontestável): O índice original de todas as máquinas, que estamos buscando, é: Índice_Original = T / D²
- O Interrogatório Detalhado (Cálculo de Todos os Índices):
Máquina I: Índice_I = (1,07 T) / (1,07 D)² = (1,07 T) / ((1,07)² D²) = T / (1,07 D²)
Máquina II: Índice_II = (1,4 T) / (0,7 D)² = (1,4 T) / (0,49 D²) ≈ 2,85 * (T / D²)
Máquina III: Índice_III = (0,7 T) / (1,4 D)² = (0,7 T) / (1,96 D²) ≈ 0,35 * (T / D²)
Máquina IV: Índice_IV = (1,07 T) / ((1,07)² D)² = (1,07 T) / ((1,07)⁴ D²) = T / ((1,07)³ D²)
Máquina V: Índice_V = ((1,07)² T) / (1,07 D)² = ((1,07)² T) / ((1,07)² D²) = T / D²
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! Agora que inspecionamos os cálculos, vamos destacar a armadilha mental mais perigosa desta investigação. Ela se esconde na propriedade da potenciação. Ao se deparar com uma expressão como (1,07 D)², o cérebro ansioso pode aplicar o quadrado apenas na variável D, resultando em 1,07 D².Este é um erro fatal!
A regra é clara: a potência de um produto é o produto das potências. Ou seja, (a * b)² = a² * b². Portanto, (1,07 * D)² se torna (1,07)² * D². Ignorar essa regra fundamental contamina toda a evidência e leva o detetive a acusar o suspeito errado.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Calculamos o novo índice de desempenho para todas as cinco máquinas, aplicando a fórmula ID = T / D² aos dados fornecidos. A manipulação algébrica nos deu cinco resultados distintos.
- Expectativa: O “retrato falado” da resposta correta é a máquina cujo resultado final da investigação acima foi exatamente T / D².
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Com todas as provas coletadas no Passo 3, vamos agora à análise forense de cada alternativa.
- A) Máquina I
- Resultado da Perícia: Nosso cálculo revelou um índice de T / (1,07 D²).
- O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. Este resultado não corresponde ao padrão de referência. O fator 1,07 no denominador indica que o desempenho da máquina piorou.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) Máquina II
- Resultado da Perícia: O índice calculado foi aproximadamente 2,85 * (T / D²).
- O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. O desempenho desta máquina não se manteve; na verdade, melhorou drasticamente, tornando-se quase três vezes mais eficiente.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) Máquina III
- Resultado da Perícia: Encontramos um índice de aproximadamente 0,35 * (T / D²).
- O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. Longe de se manter, o desempenho desta máquina despencou para cerca de um terço do que era.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) Máquina IV
- Resultado da Perícia: O cálculo nos levou ao índice T / ((1,07)³ D²).
- O “Diagnóstico do Erro”: Contradição Direta. Novamente, o resultado não é igual ao padrão. O desempenho desta máquina também piorou.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) Máquina V
- Análise de Correspondência: A perícia do Passo 3 revelou que o índice desta máquina é T / D². Este resultado é uma cópia idêntica, um “match” de DNA perfeito com o Índice_Original. O equilíbrio entre o aumento da produção e o aumento dos defeitos foi tal que o desempenho final permaneceu inalterado.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: A resposta correta é a Máquina V, que provou que um aumento na produção pode ser perfeitamente equilibrado por um aumento nos defeitos, desde que eles sigam a “lei” da fórmula de desempenho.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Numa fração, para o resultado não mudar, o “aumento de cima” tem que ser igual ao “aumento de baixo”.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Essa lógica de cancelamento de fatores é um pilar da engenharia e da física. Pense na fórmula da pressão (Pressão = Força / Área). Um engenheiro projetando um sapato para neve (snowshoe) quer diminuir a pressão no chão. Ele não pode mudar a força (o peso da pessoa), mas pode aumentar drasticamente a área do sapato. Da mesma forma, se a força aplicada aumentasse (uma pessoa carregando uma mochila pesada), a área do sapato teria que aumentar na mesma proporção para que a pressão sobre a neve se mantivesse a mesma e a pessoa não afundasse. O balanço de variáveis para manter um resultado constante é um princípio universal, da indústria de peças à sobrevivência no ártico.
