Uma professora realizou uma atividade com seus alunos utilizando canudos de refrigerante para montar figuras, onde cada lado foi representado por um canudo. A quantidade de canudos (C) de cada figura depende da quantidade de quadrados (Q) que formam cada figura. A estrutura de formação das figuras está representada a seguir.
Que expressão fornece a quantidade de quadrados de cada figura?
A) C = 4Q
B) C = 3Q + 1
C) C = 4Q + 1
D) C = Q + 3
E) C = 4Q – 2
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Álgebra (Expressões Algébricas, Sequências e Padrões)
- Raciocínio Lógico-Matemático
- Função Afim (ou de 1º Grau)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Analisar uma sequência de figuras, identificar o padrão de crescimento entre elas e traduzir esse padrão em uma expressão algébrica (fórmula) que relacione a quantidade de canudos (C) com a quantidade de quadrados (Q).
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão exige mais do que uma simples contagem. O aluno precisa perceber que a relação não é uma simples multiplicação (como C=4Q). É necessário analisar a variação (quantos canudos são adicionados para cada novo quadrado) e identificar o termo constante, o que caracteriza o problema como a busca por uma função afim (y = ax + b).
✅ Gabarito: Alternativa B.
Resumo: O primeiro quadrado usa 4 canudos. Para cada quadrado adicional, são necessários apenas mais 3 canudos (pois um lado já existe). Essa lógica de “começa com 1 e adiciona 3 para cada quadrado” pode ser descrita pela fórmula C = 3Q + 1.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Que expressão fornece a quantidade de quadrados de cada figura?” (Nota: Há um erro de digitação no enunciado da questão original; deveria ser “Que expressão fornece a quantidade de canudos de cada figura?”) Assumindo a correção para canudos:
“Que expressão fornece a quantidade de canudos (C) de cada figura?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos uma fórmula matemática que, dado o número de quadrados (Q), nos diga exatamente quantos canudos (C) são necessários para construir a figura.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é descobrir a regra matemática que governa a construção das figuras. Precisamos encontrar uma equação do tipo C = “alguma coisa com Q” que funcione para todas as três figuras mostradas.
🧠 Ao passar da Figura I para a Figura II, quantos canudos novos foram adicionados? E da Figura II para a III? Observar o que é adicionado a cada passo é o segredo para desvendar o padrão!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Expressão Algébrica: Uma combinação de números, variáveis (letras como C e Q) e operações matemáticas que representa uma relação ou regra.
- Padrão Linear / Progressão Aritmética: Uma sequência onde a diferença entre termos consecutivos é constante. No nosso caso, a cada quadrado a mais (Q aumenta em 1), a quantidade de canudos (C) aumenta em um valor fixo. Isso caracteriza uma relação linear, que pode ser descrita por uma fórmula do tipo y = ax + b.
- a é a razão de crescimento (quantos canudos são adicionados por quadrado).
- b é o valor inicial ou termo de ajuste.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Estamos montando figuras com palitos (canudos). Para fazer a primeira figura (1 quadrado), gastamos um certo número de palitos. Para fazer a segunda (2 quadrados), não precisamos do dobro de palitos, porque aproveitamos um dos palitos do primeiro quadrado. E assim por diante. Queremos descobrir a “receita de bolo” (a fórmula) que nos diz quantos palitos precisamos para fazer qualquer número de quadrados.
Estratégia Geral 🗺️
Existem duas maneiras principais de resolver:
- Método Lógico-Visual: Analisar como a figura cresce e deduzir a regra.
- Método Algébrico (Teste de Hipóteses): Contar os canudos e quadrados de cada figura e testar qual das fórmulas das alternativas funciona para todos os casos.
Vamos usar os dois métodos para uma solução completa.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Método 1: Análise Lógica e Visual
- Figura I (Q=1): Para o primeiro quadrado, precisamos de 4 canudos.
- Figura II (Q=2): Para adicionar o segundo quadrado, não precisamos de mais 4 canudos. Nós aproveitamos um lado do primeiro quadrado. Portanto, adicionamos apenas 3 novos canudos. Total: 4 + 3 = 7.
- Figura III (Q=3): Para adicionar o terceiro quadrado, novamente aproveitamos um lado do segundo. Adicionamos mais 3 novos canudos. Total: 7 + 3 = 10.
- Identificação do Padrão: A regra é: começamos com um canudo base e, para cada quadrado que queremos (Q), adicionamos 3 canudos. Isso pode ser escrito como: C = 3 + 3 + … + 3 (Q vezes) + 1. Ou, de forma mais simples:
- Para cada quadrado, usamos 3 canudos (3Q).
- Mas isso não fecha, pois para Q=1, 3Q=3, e precisamos de 4. Para Q=2, 3Q=6, e precisamos de 7.
- Percebemos que a conta está sempre 1 a menos. Então, precisamos somar 1 no final.
- Fórmula: C = 3Q + 1.
Método 2: Análise Numérica e Teste das Alternativas
- Coletar os Dados (Q, C):
- Figura I: Q = 1 → C = 4
- Figura II: Q = 2 → C = 7
- Figura III: Q = 3 → C = 10
- Testar as Fórmulas:
- A) C = 4Q:
Para Q=1: C = 41 = 4. (Funciona ✔️)
Para Q=2: C = 42 = 8. (Não funciona, deveria ser 7 ❌) - B) C = 3Q + 1:
Para Q=1: C = 31 + 1 = 4. (Funciona ✔️)
Para Q=2: C = 32 + 1 = 7. (Funciona ✔️)
Para Q=3: C = 3 . 3 + 1 = 10. (Funciona ✔️)
Esta é a fórmula correta. - C) C = 4Q – 1: (Corrigindo o erro de digitação na questão original, que provavelmente era 4Q-1 ou 4Q+1)
Para Q=1: C = 4.1 – 1 = 3. (Não funciona ❌) - D) C = Q + 3:
Para Q=1: C = 1 + 3 = 4. (Funciona ✔️)
Para Q=2: C = 2 + 3 = 5. (Não funciona, deveria ser 7 ❌) - E) C = 4Q – 2:
Para Q=1: C = 4.1 – 2 = 2. (Não funciona ❌)
- A) C = 4Q:
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é a Alternativa A (C = 4Q). Ela parece intuitiva porque um quadrado tem 4 lados. No entanto, essa fórmula só funciona para o primeiro quadrado (Q=1) ou para quadrados separados. O aluno precisa perceber que, nas figuras compostas, os quadrados compartilham lados, e é esse compartilhamento que muda a lógica do cálculo.
Fechamento e Expectativa
Ambos os métodos, o lógico e o de teste, nos levaram à mesma fórmula: C = 3Q + 1.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) C = 4Q
Incorreta. Falha a partir da segunda figura, pois não considera o compartilhamento de canudos entre os quadrados.
🟢 B) C = 3Q + 1
Correta. É a única expressão que descreve com precisão a relação entre o número de quadrados e o total de canudos para todas as figuras apresentadas.
🔴 C) C = 4Q + 1
Incorreta. Gera valores incorretos (para Q=1, C=5; para Q=2, C=9).
🔴 D) C = Q + 3
Incorreta. Falha a partir da segunda figura (para Q=2, C=5, mas o correto é 7).
🔴 E) C = 4Q – 2
Incorreta. Gera valores incorretos para todas as figuras.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A relação entre a quantidade de canudos (C) e de quadrados (Q) foi determinada pela observação do padrão de crescimento da figura. O primeiro quadrado requer 4 canudos, e cada quadrado subsequente adiciona apenas 3 novos canudos. Essa progressão aritmética pode ser modelada pela função afim C = 3Q + 1. Testando essa fórmula para as três figuras, verificamos que ela é válida em todos os casos (para Q=1, C=4; para Q=2, C=7; para Q=3, C=10).
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão
Para encontrar a fórmula de uma sequência, analise duas coisas: o ponto de partida e a taxa de crescimento. Aqui, a “taxa” era +3 canudos por quadrado, e o “ponto de partida” precisou de um ajuste de +1. Isso leva diretamente à fórmula C = 3Q + 1.
