Os alunos do curso de matemática de uma universidade desejam fazer uma placa de formatura, no formato de um triângulo equilátero, em que os seus nomes aparecerão dentro de uma região quadrada, inscrita na placa, conforme a figura.
Considerando que a área do quadrado, em que aparecerão os nomes dos formandos, mede 1 m2 , qual é aproximadamente a medida, em metro, de cada lado do triângulo que representa a placa? (Utilize 1,7 como valor aproximado para √3 ).
A) 1,6
B) 2,1
C) 2,4
D) 3,7
E) 6,4
Resolução em texto
📘 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana (triângulo equilátero, semelhança de triângulos), Trigonometria (razões trigonométricas), Área.
📔 Nível da Questão:
Médio
✅ Gabarito:
B) 2,1
🔷 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da Questão:
“Considerando que a área do quadrado mede 1 m², qual é aproximadamente a medida de cada lado do triângulo que representa a placa?”
📌 Explicação Detalhada:
Temos um triângulo equilátero com um quadrado inscrito em sua base. A área do quadrado é 1 m² e o que queremos é descobrir a medida do lado do triângulo maior, usando as propriedades de semelhança e trigonometria.
📌 Palavras-chave:
Triângulo equilátero, quadrado inscrito, área = 1 m², medida do lado.
📌 Objetivo:
Calcular, com aproximações trigonométricas e geométricas, o lado do triângulo equilátero a partir da área do quadrado inscrito.
⚠️ Dica Geral:
Ao ver figuras com triângulos equiláteros e quadrados inscritos, semelhança de triângulos e trigonometria costumam ser a chave da resolução.
🔷 Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 1. Área do quadrado:
Área = lado²
Logo, se a área é 1 m², o lado é:
lado = √1 = 1 metro
📌 2. Triângulo Equilátero:
Todos os lados são iguais e todos os ângulos medem 60°.
📌 3. Razão trigonométrica (seno):
Em um triângulo retângulo: sen(ângulo) = cateto oposto / hipotenusa
📌 4. Semelhança de triângulos:
Dois triângulos com os mesmos ângulos têm lados proporcionais.
🔷 Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 O triângulo maior é equilátero.
📌 O quadrado está inscrito, ou seja, seus lados tocam os lados do triângulo.
📌 A base do triângulo menor no topo é igual ao lado do quadrado = 1 m
📌 Vamos usar trigonometria para descobrir a altura total do triângulo maior e a medida do lado do triângulo.
🔷 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 O triângulo equilátero foi dividido em 3 partes verticais:
- Um triângulo menor no topo (também equilátero, com lado = 1 m)
- Um quadrado inscrito (lado = 1 m)
- Dois triângulos retângulos congruentes nas laterais inferiores
📌 Foquemos em um dos triângulos retângulos formados abaixo do quadrado.
Nesse triângulo:
- A hipotenusa é o lado do triângulo maior que queremos descobrir.
- O cateto oposto ao ângulo de 60° mede 1 m (lado do quadrado).
Usando a relação do seno de 60°:
✔ sen 60° = cateto oposto / hipotenusa
✔ sen 60° = 1 / x
✔ Mas sen 60° = √3 / 2 ≈ 1,7 / 2 = 0,85
Então:
1 / x = 0,85 → x = 1 / 0,85 ≈ 1,17
📌 Agora somamos:
- Parte superior (lado do triângulo menor): 1
- Parte inferior (calculada agora): 1,17
🔢 Lado do triângulo maior = 1 + 1,17 ≈ 2,17
🔷 Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
📌 A) 1,6 → ❌ Muito baixo
📌 B) 2,1 → ✅ Aproxima corretamente o valor obtido (2,17)
📌 C) 2,4 → ❌ Acima do valor real
📌 D) 3,7 → ❌ Muito acima
📌 E) 6,4 → ❌ Sem sentido com base na área 1 m²
✅ Alternativa correta: B
🔷 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Resumo do Raciocínio:
A área do quadrado permitiu encontrar seu lado como 1 m. Esse lado serviu como base para descobrir a parte inferior do triângulo usando trigonometria (sen 60° = 1/x). Somando as partes obtivemos aproximadamente 2,17 m, e a melhor aproximação fornecida é 2,1 m.
📌 Reafirmação da Alternativa Correta:
✅ Alternativa B – 2,1 metros
🔍 Resumo Final:
A questão exige uso de geometria + trigonometria. Utilizar seno em triângulos formados por quadrados inscritos é uma técnica eficaz. O maior desafio é montar corretamente o raciocínio visual, não os cálculos em si.
