Um forro retangular de tecido traz em sua etiqueta a informação de que encolherá após a primeira lavagem mantendo, entretanto, seu formato. A figura a seguir mostra as medidas originais do forro e o tamanho do encolhimento (x) no comprimento e (y) na largura. A expressão algébrica que representa a área do forro após ser lavado é (5 – x) (3 – y).
Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por:
A) 2xy
B) 15 − 3x
C) 15 − 5y
D) −5y − 3x
E) 5y + 3x − xy
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana (Área de Retângulo)
- Álgebra Básica (Expressões Algébricas, Produtos Notáveis)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo da área perdida de uma figura retangular após um encolhimento, expresso algebricamente.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão pode ser resolvida de duas maneiras: uma geométrica e outra algébrica. A resolução algébrica é mais direta e menos propensa a erros, mas a resolução geométrica, embora mais intuitiva, pode levar à armadilha da dupla contagem da área de intersecção.
✅ Gabarito: Alternativa E.
- Resumo: A área perdida é a diferença entre a área original (15) e a área final ((5 – x)(3 – y)). Ao expandir a expressão da área final e realizar a subtração, chega-se à expressão algébrica da área perdida.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Nestas condições, a área perdida do forro, após a primeira lavagem, será expressa por…”
O que está sendo pedido? ❓
A questão nos pede para encontrar a expressão algébrica que representa a área que desapareceu do tecido depois que ele encolheu.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é calcular a diferença entre a área do forro antes de lavar e a área do forro depois de lavar.
- Área Perdida = Área Original – Área Final
🧠 O problema já nos deu a expressão da área final: (5 – x)(3 – y). Isso é uma grande ajuda! Nossa tarefa é simplesmente montar a conta de subtração e simplificar a álgebra.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos 🔖
- Área de um Retângulo: É calculada multiplicando-se o comprimento pela largura.
- Área = Comprimento × Largura
- Expressão Algébrica: É uma combinação de números, variáveis (letras) e operações matemáticas.
- Propriedade Distributiva (ou “chuveirinho”): É a regra que usamos para multiplicar duas expressões entre parênteses.
- (a + b)(c + d) = a*c + a*d + b*c + b*d
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine um tapete retangular que, depois de lavado, encolhe um pouco no comprimento e um pouco na largura. A gente quer saber o tamanho do “L” de tecido que foi perdido nas bordas. Temos as medidas originais (5 por 3) e sabemos que ele encolheu x de um lado e y do outro. A missão é escrever a “fórmula” da área desse “L” perdido.
Estratégia Geral 🗺️ (Método Algébrico)
- Calcular a área original do forro.
- Pegar a expressão da área final, que já foi dada no enunciado.
- Montar a subtração: Área Perdida = Área Original – Área Final.
- Expandir os produtos e simplificar a expressão até chegar a uma das alternativas.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 👣 (Método Algébrico)
1. Calcular a Área Original (A_original):
- Comprimento = 5
- Largura = 3
- A_original = 5 × 3 = 15
2. Identificar a Área Final (A_final):
- O enunciado já nos dá essa expressão: A_final = (5 – x)(3 – y)
3. Montar a Subtração:
- Área Perdida = A_original – A_final
- Área Perdida = 15 – [ (5 – x)(3 – y) ]
4. Expandir o Produto da Área Final:
Vamos usar a propriedade distributiva (“chuveirinho”):
- (5 – x)(3 – y) = 5.3 + 5.(-y) + (-x).3 + (-x).(-y)
- (5 – x)(3 – y) = 15 – 5y – 3x + xy
5. Substituir e Simplificar a Expressão da Área Perdida:
- Área Perdida = 15 – [ 15 – 5y – 3x + xy ]
- Agora, muito cuidado com o sinal de menos na frente do colchete! Ele troca o sinal de tudo que está dentro:
- Área Perdida = 15 – 15 + 5y + 3x – xy
- O 15 – 15 se cancela:
- Área Perdida = 5y + 3x – xy
Verificação Intermediária 🧐 (Método Geométrico)
A área perdida é a área de um “L” formado por dois retângulos sobrepostos.
- Retângulo vertical: Área = 3 . x = 3x
- Retângulo horizontal: Área = 5 . y = 5y
- Se somarmos 3x + 5y, a área do quadradinho do canto (de lados x e y e área xy) foi contada duas vezes. Portanto, precisamos subtraí-la uma vez.
- Área Perdida = (Área do retângulo vertical) + (Área do retângulo horizontal) – (Área da intersecção)
- Área Perdida = 3x + 5y – xy. O resultado é o mesmo!
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é o sinal de menos na hora de subtrair as expressões. Se você esquecer de trocar o sinal de todos os termos dentro do parêntese, chegaria a um resultado como 15 – (15 – 5y – 3x + xy) = -5y – 3x + xy, que não está nas alternativas, mas ilustra o erro.
Fechamento e expectativa ✨
Ambos os métodos, algébrico e geométrico, nos levaram à mesma expressão: 5y + 3x – xy. Vamos procurar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 2xy
Incorreta.
🔴 B) 15 − 3x
Incorreta. Representa a área de um dos retângulos restantes.
🔴 C) 15 − 5y
Incorreta. Representa a área de outro dos retângulos restantes.
🔴 D) −5y − 3x
Incorreta. Resultado de um erro de sinal na álgebra.
🟢 E) 5y + 3x − xy
Correta. Corresponde exatamente à expressão que encontramos.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
A área perdida pelo forro pode ser calculada subtraindo a área final da área original. A área original é 5 . 3 = 15. A área final é dada por (5 – x)(3 – y), que, ao ser expandida, resulta em 15 – 5y – 3x + xy. Realizando a subtração 15 – (15 – 5y – 3x + xy), e aplicando a regra de sinais, obtemos a expressão da área perdida: 5y + 3x – xy.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão 🔑
Em problemas que pedem a “diferença” ou a “área perdida”, a abordagem algébrica (Área Perdida = Área Original – Área Final) costuma ser a mais segura e sistemática, especialmente quando a expressão da área final já é fornecida. Apenas tome cuidado extra com os sinais de menos
