Um gesseiro que trabalhava na reforma de uma casa lidava com placas de gesso com formato de pentágono regular quando percebeu que uma peça estava quebrada, faltando uma parte triangular, conforme mostra a figura.
Para recompor a peça, ele precisou refazer a parte triangular que faltava e, para isso, anotou as medidas dos ângulos x = EAD, y = EDA e z = AED do triângulo ADE. As medidas x, y e z, em graus, desses ângulos são, respectivamente:
A) 18, 18 e 108.
B) 24, 48 e 108.
C) 36, 36 e 108.
D) 54, 54 e 72.
E) 60, 60 e 60.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria plana, Polígonos regulares, Propriedades de triângulos.
📝 Tema/Objetivo Geral:
Determinar os ângulos de um triângulo isósceles formado a partir da “quebra” de um pentágono regular.
📊 Nível da Questão:
Fácil — exige apenas conhecimento de ângulos internos e propriedades de triângulos isósceles.
🎯 Gabarito:
C
1️⃣ ATO 1 – Qual é a missão do nosso mestre de obras com essa placa quebrada?
Venha comigo olhar para essa placa de gesso. O gesseiro tinha uma peça perfeita de cinco lados (um pentágono), mas a ponta quebrou. Ele precisa cortar um triângulo exato para colar ali e fechar o buraco. Para não desperdiçar material, ele precisa saber a inclinação exata (os ângulos) das três pontas desse triângulo de gesso que está faltando.
Não conseguiu visualizar a urgência dessa missão? Pense comigo nesta analogia:
Imagine que você comprou uma pizza inteira, daquelas cortadas em fatias perfeitamente idênticas, mas alguém esbarrou na caixa e quebrou a ponta de uma fatia. Para assar uma nova pontinha de massa que encaixe milimetricamente naquele buraco, sem deixar vazar o queijo, você precisa saber exatamente os ângulos desse corte.
Qual é o nosso radar aqui?
Estamos no terreno da Geometria Plana, brincando com Polígonos Regulares e Triângulos. O nosso plano de ataque é usar as próprias regras da figura para descobrir as medidas sem precisar de fita métrica!
2️⃣ ATO 2 – O que a palavra mágica “regular” esconde no meio desse quebra-cabeça?
Esqueça a decoreba de fórmulas geométricas complexas. A chave de ouro desta questão inteira é a palavra regular.
Na matemática, quando dizemos que um polígono é regular, estamos afirmando que ele é o suprassumo da perfeição: todos os lados têm o mesmo comprimento e todos os cantos (ângulos internos) têm a exata mesma abertura.
Olhe atentamente para o triângulo imaginário ADE na figura (a parte tracejada). O ponto E é exatamente uma das “quinas” originais do pentágono. Ou seja, o ângulo z ali dentro não é um ângulo qualquer, ele é o próprio ângulo original do pentágono!
Além disso, como o pentágono é regular (lados iguais), a “parede” AE tem exatamente o mesmo tamanho da “parede” DE. Quando um triângulo tem dois lados irmãos gêmeos, nós o chamamos de triângulo isósceles. E a regra de ouro do triângulo isósceles é linda: pernas iguais geram ângulos iguais na base. Portanto, já sabemos de cara que os ângulos x e y são idênticos!
3️⃣ ATO 3 – Vamos descobrir a medida exata desses cantos passo a passo?
Chegou a hora de sujar as mãos de gesso matemático. Vamos fazer isso em duas etapas simples e lógicas:
Passo 1: Descobrir o tamanho da quina do pentágono (o ângulo z)
Para saber o total de graus de qualquer polígono, nós usamos uma lógica de triângulos internos. Basta pegar o número de lados, subtrair 2, e multiplicar por 180.
Temos 5 lados. Tirando 2, sobram 3.
Fazendo a conta: 3 x 180 = 540 graus no total.
Como a figura é “regular”, esses 540 graus são divididos igualmente entre os 5 cantos.
540 / 5 = 108 graus.
Pronto! Descobrimos que a ponta E (o nosso ângulo z) mede exatamente 108 graus.
Passo 2: Achar as outras pontas do triângulo (x e y)
Nós sabemos que todo triângulo do universo tem sempre 180 graus na soma de seus três cantos. Se o topo (z) já roubou 108 graus para ele, quanto sobra para a base do triângulo?
Fazendo a conta: 180 – 108 = 72 graus.
Como vimos no Ato 2, os lados são iguais (isósceles), então os ângulos da base (x e y) precisam dividir essa sobra de forma perfeitamente igual:
72 / 2 = 36 graus para cada um.
Ou seja, x = 36 e y = 36.
🚨 AVISO DE PERIGO (A Armadilha do Olho Enganoso) 🚨
Olhando rapidamente para a figura no papel, o triângulo tracejado pode parecer um triângulo perfeito com todos os lados iguais (equilátero), o que faria a mente apressada chutar que todos os ângulos medem 60 graus. O examinador adora desenhar de um jeito para enganar os seus olhos! Nunca confie na aparência do desenho em questões de geometria; confie apenas no que o texto diz. A palavra “regular” definiu o pentágono, não o triângulo!
4️⃣ ATO 4 – Qual molde de gesso tem as medidas perfeitas?
A questão pede os ângulos x, y e z, nesta exata ordem. Nosso cálculo deu: 36, 36 e 108. Vamos às opções:
A) 18, 18 e 108.
🔴 Anatomia do Erro: O aluno fez a conta certa do polígono e achou o topo 108. Descobriu que sobrava 72, mas, por um lapso de atenção, dividiu o 72 por quatro em vez de dois, ou se embananou na divisão básica.
B) 24, 48 e 108.
🔴 Anatomia do Erro: O aluno achou o topo 108 e a sobra de 72, mas esqueceu completamente a regra do triângulo isósceles. Ele achou que os ângulos da base eram diferentes e chutou valores aleatórios que somassem 72.
C) 36, 36 e 108.
🟢 O Confronto: Bingo! É o nosso gabarito. A matemática conta uma história impecável: o aluno calculou o ângulo interno do pentágono (108), percebeu que formava um triângulo isósceles por ter dois lados originais da figura, subtraiu 108 de 180 e dividiu a sobra igualmente. Lógica de mestre de obras!
D) 54, 54 e 72.
🔴 Anatomia do Erro: Confusão total de posições. O aluno achou que o ângulo do pentágono era 72 (talvez dividindo 360 por 5, o que daria o ângulo externo, não o interno) e depois dividiu o que sobrou (108) por dois. Aplicou as contas certas nos lugares errados.
E) 60, 60 e 60.
🔴 Anatomia do Erro: É a nossa “Armadilha do Olho Enganoso”. O aluno nem fez conta; olhou para o buraco, achou parecido com um triângulo equilátero e marcou a alternativa mais famosa da geometria por puro chute visual.
5️⃣ ATO 5 – Qual é a regra de ouro dos polígonos para o ENEM?
A Chave do Mistério: “A palavra ‘regular’ no texto é um atestado de garantia do examinador: lados iguais criam ângulos iguais, transformando qualquer ponta quebrada em um triângulo isósceles, que te entrega a resposta de bandeja.”
🧠 A Ponte para o Futuro:
Onde vemos ecos disso no mundo real? Todo arquiteto, designer de azulejos ou engenheiro de produtos respira polígonos regulares. Pense nas colmeias de abelhas (hexágonos regulares) ou no design de uma bola de futebol clássica (feita de pentágonos e hexágonos). Entender como esses ângulos se encaixam é o que permite construir domos de shoppings e encaixar cerâmicas perfeitamente no chão sem deixar vãos. A geometria do ENEM é a matemática da vida visível!
