Um carpinteiro fabrica portas retangulares maciças, feitas de um mesmo material. Por ter recebido de seus clientes pedidos de portas mais altas, aumentou sua altura em 1/8, preservando suas espessuras. A fim de manter o custo com o material de cada porta, precisou reduzir a largura.
A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é
A) 1/8
B) 7/8
C) 8/7
D) 8/9
E) 9/8
Resolução em texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de um paralelepípedo)
- Álgebra (Manipulação de equações)
- Frações e Proporcionalidade (Razão e Proporção Inversa)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Proporcionalidade e conservação de grandezas (volume).
🎯 Nível da Questão: Médio.
- Detalhe: A questão é de nível médio porque não se resolve com um cálculo direto. Ela exige que o aluno traduza a condição “manter o custo” para “manter o volume”, monte uma equação algébrica com frações e, ao final, interprete corretamente o que significa a “razão” pedida, evitando armadilhas comuns como a inversão do resultado.
✅ Gabarito: D
- A alternativa está correta porque, para manter o volume constante, se a altura é multiplicada por um fator (9/8), a largura deve ser multiplicada pelo fator inverso (8/9).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial 📌
“A razão entre a largura da nova porta e a largura da porta anterior é…”
1.2 O que está sendo pedido? 📌
A questão pede para encontrarmos o resultado da divisão: (Largura da Nova Porta) / (Largura da Porta Anterior).
1.3 Objetivo Cristalino 📌
Nosso objetivo é montar uma expressão fracionária que represente o quão mais estreita a nova porta ficou em relação à antiga para compensar o aumento da altura.
1.4 Pergunta de Atenção ✔
Você percebeu que a frase “manter o custo com o material” é a informação mais importante do problema? O que isso significa em termos de geometria para a porta? Significa que o volume de madeira deve ser o mesmo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos 📌
Para resolver essa questão, precisamos dominar alguns conceitos:
- Volume de um Paralelepípedo Retângulo (Formato da Porta):
- Uma porta é basicamente um bloco retangular. Seu volume é calculado multiplicando suas três dimensões.
- Fórmula: Volume = Altura × Largura × Espessura
- Aumento Fracionário:
- Quando algo “aumenta em 1/8”, significa que ao valor original (que é 1, ou 8/8), somamos mais 1/8.
- Cálculo: Novo Valor = Valor Antigo + (1/8) × Valor Antigo = (1 + 1/8) × Valor Antigo = (9/8) × Valor Antigo.
- Ou seja, aumentar em 1/8 é o mesmo que multiplicar por 9/8.
- Razão:
- É simplesmente uma divisão entre duas grandezas para compará-las. A questão pede a razão Largura Nova / Largura Antiga.
- Proporcionalidade Inversa:
- Duas grandezas são inversamente proporcionais quando, ao multiplicar uma por um fator k, a outra precisa ser multiplicada pelo fator inverso 1/k para que o produto entre elas permaneça constante. É exatamente o que acontece aqui com a altura e a largura para manter a área (e o volume) constante.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada 📌
De forma simples: o carpinteiro esticou a porta para cima. Para não gastar mais madeira (manter o mesmo volume), ele teve que “espremer” a porta pelos lados, deixando-a mais fina. A gente precisa descobrir qual é a fração que representa a nova largura em comparação com a antiga.
3.2 Estratégia Geral 📌
Nosso plano de ataque será o seguinte:
- Escrever a fórmula do volume da porta antiga.
- Escrever a fórmula do volume da porta nova, já incorporando o aumento da altura.
- Igualar os dois volumes, já que o custo (quantidade de material) deve ser o mesmo.
- Simplificar a equação e isolar a razão pedida (Largura Nova / Largura Antiga).
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado 📌
Vamos aplicar nossa estratégia.
- Passo A: Definir as dimensões e o volume da porta ANTIGA
- Altura antiga: A
- Largura antiga: L_antiga
- Espessura: E (ela não muda)
- Volume_antigo = A × L_antiga × E
- Passo B: Definir as dimensões e o volume da porta NOVA
- Nova altura: aumentou em 1/8. Então, A_nova = A + (1/8)A = (9/8)A
- Nova largura: L_nova
- Espessura: E (continua a mesma)
- Volume_novo = (9/8)A × L_nova × E
- Passo C: Igualar os volumes (custo constante)
- O enunciado diz que o custo é o mesmo, logo Volume_novo = Volume_antigo.
- (9/8)A × L_nova × E = A × L_antiga × E
- Passo D: Simplificar a equação
- Podemos cancelar os termos que aparecem dos dois lados: A e E.
- Sobrou: (9/8) × L_nova = L_antiga
- Passo E: Encontrar a razão pedida
- A questão pede a razão L_nova / L_antiga. Vamos manipular a equação para chegar lá.
- A partir de (9/8) × L_nova = L_antiga, vamos dividir os dois lados por L_antiga:
- (9/8) × (L_nova / L_antiga) = 1
- Agora, para isolar a razão, multiplicamos os dois lados pelo inverso de 9/8, que é 8/9:
- L_nova / L_antiga = 8/9
4.2 Verificação Intermediária 📌
O resultado 8/9 é um número menor que 1. Isso faz todo o sentido, pois o enunciado diz que a largura foi reduzida. Se o resultado fosse maior que 1, algo estaria errado.
4.3 Possível armadilha ❓/ ✔
A armadilha mais clássica aqui é inverter a razão. Ao chegar na equação (9/8) × L_nova = L_antiga, você poderia se apressar e marcar a alternativa 9/8 (letra E). Mas a questão pede L_nova / L_antiga, e não L_antiga / L_nova. Outra armadilha é pensar em subtração: “Se a altura aumentou 1/8, a largura diminui 1/8, ficando 7/8”. Isso está errado! A compensação no volume é feita por multiplicação/divisão (proporção), não por soma/subtração.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo preciso, baseado na conservação do volume, nos levou à razão de 8/9. Agora vamos confirmar essa resposta nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1/8
B) 7/8
C) 8/7
D) 8/9
E) 9/8
5.2 Justificativa Individual
- A) 1/8 (🔴) Incorreta. Esta é a fração do aumento da altura, não a razão entre as larguras.
- B) 7/8 (🔴) Incorreta. Este seria o resultado se a redução fosse uma subtração (1 – 1/8). Confunde proporcionalidade com uma simples subtração de frações.
- C) 8/7 (🔴) Incorreta. É o inverso da alternativa B, não tendo uma lógica clara de cálculo dentro do problema.
- D) 8/9 (🟢) Correta. Confere exatamente com nosso cálculo. É o fator inverso ao aumento da altura (1 / (9/8)), garantindo que o volume se mantenha constante.
- E) 9/8 (🔴) Incorreta. Esta é a razão Altura Nova / Altura Antiga ou, a armadilha, Largura Antiga / Largura Nova. A questão pede a razão da nova pela antiga, que é o inverso disso.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio 📌
Para manter o volume (custo do material) constante, o aumento na altura (multiplicada por 9/8) teve que ser compensado por uma redução inversa na largura (multiplicada por 8/9). A razão entre a nova largura e a antiga é, portanto, 8/9.
6.2 Gabarito Reafirmado 📌
O gabarito correto é a alternativa D, que apresenta a razão 8/9.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro da proporcionalidade inversa: se A × B = constante, quando A é multiplicado por um fator k, B deve ser multiplicado pelo fator inverso 1/k.
