O esporte de alta competição da atualidade produziu uma questão ainda sem resposta: Qual é o limite do corpo humano? O maratonista original, o grego da lenda, morreu de fadiga por ter corrido 42 quilômetros. O americano Dean Karnazes, cruzando sozinho as planícies da Califórnia, conseguiu correr dez vezes mais em 75 horas.
Um professor de Educação Física, ao discutir com a turma o texto sobre a capacidade do maratonista americano, desenhou na lousa uma pista reta de 60 centímetros, que representaria o percurso referido.
Disponível em: http://veja.abril.com.br. Acesso em: 25 jun. 2011 (adaptado).
Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?
A) 1:700
B) 1:7 000
C) 1:70 000
D) 1:700 000
E) 1:7 000 000
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geografia/Matemática (Escalas)
- Conversão de Unidades de Medida (km para cm)
- Operações Matemáticas Básicas (Multiplicação, Divisão)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Cálculo de escala a partir de uma representação (desenho) e da distância real correspondente.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão envolve múltiplos passos: interpretação do texto para encontrar a distância real, conversão de unidades com muitos zeros e, finalmente, o cálculo da escala. Um erro em qualquer uma dessas etapas, especialmente na conversão (de km para cm), leva a uma resposta errada.
✅ Gabarito: Alternativa D.
- Resumo: O cálculo da escala 1 : x é feito dividindo-se a distância real (em cm) pela distância no desenho (em cm). A distância real é 420 km, que, convertida, dá 42.000.000 cm. Dividindo esse valor por 60 cm (tamanho do desenho), chega-se à escala de 1 : 700.000.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se o percurso de Dean Karnazes fosse também em uma pista reta, qual seria a escala entre a pista feita pelo professor e a percorrida pelo atleta?”
O que está sendo pedido? ❓
A questão pede para calcularmos a escala usada pelo professor. A escala é a relação entre a medida no desenho e a medida na realidade.
Objetivo Cristalino 🎯
Nosso objetivo é seguir um plano de três etapas:
- Calcular a distância real percorrida pelo atleta.
- Converter todas as medidas para a mesma unidade (centímetros é o mais prático).
- Calcular a escala.
🧠 A distância da maratona original é de 42 km. O texto diz que o atleta americano correu “dez vezes mais”. Não se esqueça de fazer essa multiplicação antes de começar os outros cálculos!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
Definição de Termos 🔖
- Escala Numérica: É uma relação matemática que indica quantas vezes a realidade foi reduzida para caber no desenho.
- Formato: 1 : x (lê-se “um por x”).
- Significado: 1 unidade de medida no desenho (ex: 1 cm) corresponde a x unidades da mesma medida na realidade (ex: x cm).
- Fórmula: Escala = Distância no Desenho / Distância Real
(Ambas na mesma unidade!)
- Conversão de Unidades de Comprimento:
- 1 quilômetro (km) = 1.000 metros (m)
- 1 metro (m) = 100 centímetros (cm)
- Portanto: 1 km = 1.000 × 100 = 100.000 cm
- Dica prática: Para converter de km para cm, basta adicionar cinco zeros.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Um atleta correu uma distância gigantesca. Um professor, para explicar isso, fez um risquinho de 60 cm na lousa para representar essa corrida. A pergunta é: quantas vezes o professor teve que “encolher” a distância real para ela caber nesse risquinho de 60 cm?
Estratégia Geral 🗺️
- Calcular a distância real em km.
- Converter a distância real de km para cm.
- Dividir a distância real (em cm) pela distância do desenho (em cm) para encontrar o fator de redução (x).
- Escrever a escala no formato 1 : x.
⚙️ Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Calcular a Distância Real percorrida (D):
- O maratonista original correu 42 km.
- Dean Karnazes correu “dez vezes mais”.
- D = 10 × 42 km = 420 km
2. Converter Todas as Medidas para Centímetros:
- Distância no Desenho (d): d = 60 cm (já está em cm)
- Distância Real (D): D = 420 km
- D = 420 × 100.000 cm = 42.000.000 cm
3. Calcular a Escala:
A escala é a razão d / D. Para encontrar o formato 1 : x, podemos usar a regra de três ou simplesmente dividir a distância real pela do desenho.
- Método da Regra de Três:
60 cm no desenho ——- 42.000.000 cm na realidade
1 cm no desenho ——- x cm na realidade
x = (1 * 42.000.000) / 60
x = 4.200.000 / 6
x = 700.000 - Método da Divisão Direta:
x = Distância Real / Distância no Desenho
x = 42.000.000 / 60 = 700.000
4. Escrever a Escala:
A escala é 1 : 700.000.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha é a conversão de unidades. Cada erro de um zero na conversão de km para cm (por exemplo, usar 10.000 ou 1.000.000 em vez de 100.000) levará a uma das outras alternativas.
- Se usar 1 km = 10.000 cm → x = 70.000 (Alternativa C)
- Se usar 1 km = 1.000.000 cm → x = 7.000.000 (Alternativa E)
Fechamento e expectativa ✨
Nosso cálculo nos levou a uma escala de 1 para 700.000. Vamos verificar as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 1:700
Incorreta.
🔴 B) 1:7 000
Incorreta.
🟡 C) 1:70 000
A que mais confunde. Seria a resposta se a conversão de km para cm estivesse errada por um fator de 10 (se 1 km = 10.000 cm).
🟢 D) 1:700 000
Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo.
🔴 E) 1:7 000 000
Incorreta. Seria a resposta se a conversão de km para cm estivesse errada por um fator de 10 (se 1 km = 1.000.000 cm).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 🗒️
Primeiro, determinamos a distância real percorrida pelo atleta (10 x 42 km = 420 km). Em seguida, convertemos essa distância para centímetros (420 km = 42.000.000 cm) para que ficasse na mesma unidade da medida do desenho (60 cm). Por fim, calculamos a escala dividindo a medida real pela medida no desenho (42.000.000 / 60), o que resultou em 700.000, correspondendo a uma escala de 1:700.000.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão 🔑
Lembre-se da conversão chave para escalas: 1 km = 100.000 cm. Pense nisso como “1 km tem mil metros, e cada metro tem cem centímetros, então mil vezes cem dá cem mil”. Gravar esse número (cem mil, 5 zeros) evita a maioria dos erros em problemas de escala.
