Dois engenheiros estão verificando se uma cavidade perfurada no solo está de acordo com o planejamento
de uma obra, cuja profundidade requerida é de 30 m. O teste é feito por um dispositivo denominado oscilador
de áudio de frequência variável, que permite relacionar a profundidade com os valores da frequência de duas
ressonâncias consecutivas, assim como em um tubo sonoro fechado. A menor frequência de ressonância que
o aparelho mediu foi 135 Hz. Considere que a velocidade do som dentro da cavidade perfurada é de 360 m s-1.
Se a profundidade estiver de acordo com o projeto, qual será o valor da próxima frequência de ressonância que será medida?
A) 137 Hz.
B) 138 Hz.
C) 141 Hz.
D) 144 Hz.
E) 159 Hz
Resolução Em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Física (Ondulatória: Ondas Estacionárias em Tubos Sonoros)
- Acústica (Harmônicos, Ressonância)
🎯 Tema/Objetivo Geral
Cálculo das frequências dos harmônicos em um tubo sonoro fechado para verificar a profundidade de uma cavidade.
📊 Nível da Questão
Difícil.
Por quê? A questão possui uma redação ambígua que pode levar a interpretações equivocadas. A chave para a resolução correta é entender que a frase “a menor frequência de ressonância que o aparelho mediu” não se refere necessariamente à frequência fundamental (1º harmônico) do tubo, mas sim à primeira frequência que o aparelho detectou dentro de sua faixa de operação. A partir daí, é preciso identificar qual harmônico corresponde a 135 Hz e então calcular o próximo.
✅ Gabarito
Alternativa C.
Resumo: Primeiro, calcula-se a frequência fundamental (f₁) para o tubo de 30 m, que é de 3 Hz. Em seguida, descobre-se que a frequência medida de 135 Hz corresponde ao 45º harmônico (n=45). Como em tubos fechados só existem harmônicos ímpares, o próximo harmônico será o 47º (n=47). A frequência do 47º harmônico é então calculada (f₄₇ = 47 × f₁), resultando em 141 Hz.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Se a profundidade estiver de acordo com o projeto, qual será o valor da próxima frequência de ressonância que será medida?”
O que está sendo pedido?
A questão assume que a profundidade de 30 m está correta. Com base nisso, e sabendo que uma frequência de ressonância de 135 Hz foi detectada, devemos calcular qual será a próxima frequência de ressonância possível.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é:
- Calcular a frequência fundamental (1º harmônico) de um tubo fechado de 30 m.
- Identificar a qual harmônico (n) a frequência de 135 Hz corresponde.
- Encontrar o próximo harmônico permitido e calcular sua frequência.
🧠 Você lembra que, em um tubo fechado, só existem harmônicos ímpares (1º, 3º, 5º…)? Saber disso é crucial para encontrar a “próxima” frequência corretamente.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Tubo Sonoro Fechado: Tubo com uma extremidade aberta e outra fechada. A cavidade do solo é modelada como tal.
- Frequências dos Harmônicos em Tubos Fechados: As frequências de ressonância (f_n) em um tubo fechado são dadas pela fórmula:
f_n = n ⋅ (v / 4L)
Onde:- n é o número do harmônico, que deve ser um número inteiro ímpar (n = 1, 3, 5, 7, …).
- v é a velocidade do som no meio (360 m/s).
- L é o comprimento do tubo (30 m).
- Frequência Fundamental (f₁): É a frequência do primeiro harmônico (n=1). É a menor frequência de ressonância possível para o tubo. Todas as outras frequências de ressonância são múltiplos ímpares da fundamental (f₃ = 3⋅f₁, f₅ = 5⋅f₁, etc.).
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Pense na cavidade como um instrumento musical gigante (como um órgão de tubos). Ele só consegue “tocar” notas específicas, que são os harmônicos (f₁, f₃, f₅, …). Os engenheiros usaram um aparelho que encontrou uma dessas notas: 135 Hz. A pergunta é: se a profundidade de 30 m estiver correta, qual será a próxima nota mais aguda que esse instrumento consegue tocar?
Nossa missão é primeiro descobrir qual é a “nota” mais grave de todas (a frequência fundamental, f₁) para esse “instrumento” de 30m. Depois, vemos qual nota da “escala” corresponde aos 135 Hz. Finalmente, calculamos qual é a próxima nota da escala.
Estratégia Geral 🗺️
- Calcular f₁: Usar a fórmula f_n = n ⋅ (v / 4L) com n=1, L=30m e v=360m/s para encontrar a frequência fundamental.
- Identificar ‘n’: Dividir a frequência medida (135 Hz) pela frequência fundamental (f₁) para descobrir qual é o número do harmônico ‘n’.
- Encontrar o próximo ‘n’: Como em tubos fechados só existem harmônicos ímpares, o próximo harmônico será n+2.
- Calcular a próxima frequência: Usar a fórmula f_{n+2} = (n+2) ⋅ f₁ para encontrar o resultado.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
Etapa 1: Calcular a Frequência Fundamental (f₁)
O enunciado pede para considerarmos que a profundidade de 30 m está correta.
- Dados:
- L = 30 m
- v = 360 m/s
- Fórmula para o primeiro harmônico (n=1):
- f₁ = 1 ⋅ (v / 4L)
- f₁ = 360 / (4 ⋅ 30)
- f₁ = 360 / 120
- f₁ = 3 Hz
Etapa 2: Identificar a qual harmônico corresponde 135 Hz
Agora, vamos descobrir qual múltiplo ímpar da frequência fundamental corresponde aos 135 Hz medidos.
- f_n = n ⋅ f₁
- 135 = n ⋅ 3
- n = 135 / 3
- n = 45
Isso nos diz que a frequência de 135 Hz é a do 45º harmônico. A frase “menor frequência de ressonância que o aparelho mediu” deve ser interpretada como a primeira que o aparelho detectou, e não a fundamental.
Etapa 3: Encontrar o Próximo Harmônico
Em um tubo fechado, os harmônicos são sempre ímpares. Se o harmônico medido foi o 45º (n=45), o próximo harmônico será o próximo número ímpar, que é 47.
- Próximo n = 45 + 2 = 47
Etapa 4: Calcular a Frequência do Próximo Harmônico (f₄₇)
Agora, usamos a fórmula para calcular a frequência do 47º harmônico.
- f₄₇ = 47 ⋅ f₁
- f₄₇ = 47 ⋅ 3
- f₄₇ = 141 Hz
Conclusão: Se a profundidade for 30 m, a próxima frequência de ressonância após 135 Hz será de 141 Hz.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é a má interpretação da frase “menor frequência de ressonância que o aparelho mediu”. A interpretação literal levaria a assumir que 135 Hz é a frequência fundamental (f₁), o que gera uma inconsistência com a profundidade de 30 m e não leva a nenhuma das alternativas. A chave é desconfiar dessa frase e seguir o comando que assume a profundidade como correta.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a um valor de 141 Hz para a próxima frequência de ressonância. Agora, vamos procurar essa resposta nas alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 137 Hz.
🔴 B) 138 Hz.
🟢 C) 141 Hz.
Correta. Este valor corresponde exatamente ao nosso cálculo para o 47º harmônico.
🔴 D) 144 Hz.
🔴 E) 159 Hz.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
Assumindo a profundidade da cavidade como 30 m, conforme solicitado, a frequência fundamental (1º harmônico) de um tubo sonoro fechado nessas condições é calculada como 3 Hz. A frequência medida de 135 Hz corresponde ao 45º harmônico (n=45), pois 135 = 45 x 3. Como os harmônicos em um tubo fechado são sempre ímpares, o próximo harmônico possível é o 47º (n=47). A frequência desse próximo harmônico é calculada como f₄₇ = 47 x f₁, o que resulta em 141 Hz.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de tubos sonoros, lembre-se das regras:
- Tubo Aberto: Todos os harmônicos (n = 1, 2, 3, …), f_n = n ⋅ (v / 2L).
- Tubo Fechado: Apenas harmônicos ímpares (n = 1, 3, 5, …), f_n = n ⋅ (v / 4L).
Saber essa diferença é fundamental
