Um pai faz um balanço utilizando dois segmentos paralelos e iguais da mesma corda para fixar uma tábua a uma barra horizontal. Por segurança, opta por um tipo de corda cuja tensão de ruptura seja 25% superior à tensão máxima calculada nas seguintes condições:
• O ângulo máximo atingido pelo balanço em relação à vertical é igual a 90°;
• Os filhos utilizarão o balanço até que tenham uma massa de 24 kg.
Além disso, ele aproxima o movimento do balanço para o movimento circular uniforme, considera que a aceleração da gravidade é igual a 10 m/s² e despreza forças dissipativas.
Qual é a tensão de ruptura da corda escolhida?
A) 120 N
B) 300 N
C) 360 N
D) 450 N
E) 900 N
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Mecânica (Forças em Movimento Circular, Força Centrípeta)
- Estática e Dinâmica (Cálculo da Tensão na corda)
Nível da Questão
- Médio
Gabarito
- Alternativa Correta: (D) 450 N
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Contexto
O balanço é preso por duas cordas iguais e paralelas. A criança pode chegar a 90° em relação à vertical. A massa máxima é 24 kg, e a gravidade vale 10 m/s². Consideramos a dinâmica de um movimento circular uniforme no ponto mais baixo (quando a tensão é máxima) e, depois, aumentamos a tensão calculada em 25% para garantir segurança. Precisamos encontrar a tensão de ruptura que o pai deve escolher.
🔹 Palavras-Chave: “movimento circular”, “ângulo de 90°”, “força centrípeta”, “tensão de ruptura”.
🔹 Objetivo: Determinar a tensão que cada corda suporta no ponto crítico (mais baixo do balanço), e então acrescer 25% a esse valor.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
📌 Conceitos Fundamentais
- Movimento de Pêndulo Simplificado:
- No ponto mais baixo, a velocidade do balanço é máxima.
- A força resultante centrípeta é dada por Fᶜ = m × v² / R.
- Conservação de Energia:
- Se o balanço atinge 90° com a vertical, toda a energia potencial no topo se converte em energia cinética no ponto mais baixo.
- Altura atingida: R (comprimento da corda) → pois a criança sai do ponto mais baixo até 90°, subindo R em altura.
- Tensão na Corda (T):
- No ponto mais baixo, T – P = Fᶜ, onde P = m g e Fᶜ é a força centrípeta.
- Precisamos resolver T nesse instante crítico.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
📌 Contexto
- O ângulo máximo de 90° significa que, no ponto mais alto, a criança está horizontalmente alinhada com o ponto de suspensão; no ponto mais baixo, a velocidade é resultado de converter mgR em energia cinética.
- O pai então escolhe uma corda com tensão de ruptura 25% maior que a T máxima calculada.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
- Conservação de Energia
- Altura = R.
- Energia potencial inicial: m g R.
- No ponto mais baixo, toda essa energia vira energia cinética:
m g R = (1/2) × m × v². - Cancelando m:
g R = (1/2)× v² → v² = 2 g R → v = √(2 g R).
- Força Centrípeta
- Fᶜ = m × v² / R = m × (2 g R) / R = 2 m g.
- Equilíbrio no ponto mais baixo
- Força resultante no sentido do centro = T – P.
- T – P = Fᶜ → T – (m g) = 2 m g → T = 3 m g.
- Substituindo valores
- m = 24 kg, g = 10 m/s² → T = 3 × 24 × 10 = 720 N.
- Mas há duas cordas paralelas sustentando o balanço, e a carga se divide. Cada corda sustenta metade da tensão total. Então a tensão por corda = 720 / 2 = 360 N.
- Aumento de 25%
- Tensão de ruptura = 360 × 1,25 = 450 N.
Passo 5: Análise das Alternativas
- (A) 120 N
❌ Muito abaixo do valor calculado. - (B) 300 N
❌ Ainda menor do que 360 N. - (C) 360 N
❌ É a tensão máxima, mas não inclui o acréscimo de 25%. - (D) 450 N
✅ Correta. É 360 + 25%. - (E) 900 N
❌ O dobro de 450. Exagerado.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
🔍 Resumo Final
Calculamos primeiro a tensão total no balanço (3 m g = 720 N), mas cada corda recebe metade (360 N). Acrescentando 25% de segurança, obtemos 450 N.
Resposta:
✅ (D) 450 N.
