Slackline é um esporte no qual o atleta deve se equilibrar e executar manobras estando sobre uma fita esticada. Para a prática do esporte, as duas extremidades da fita são fixadas de forma que ela fique a alguns centímetros do solo. Quando uma atleta de massa igual a 80 kg está exatamente no meio da fita, essa se desloca verticalmente, formando um ângulo de 10° com a horizontal, como esquematizado na figura. Sabe-se que a aceleração da gravidade é igual a 10 ms-2, cos(10°) = 0,98 e sen(10°) = 0,17.
Qual é a força que a fita exerce em cada uma das árvores por causa da presença da atleta? A) 4,0 × 102 N
B) 4,1 × 102 N
C) 8,0 × 102N
D) 2,4 × 103 N
E) 4,7 × 103 N
Resolução em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Mecânica (Estática e Força de Tração).
Nível da Questão: Médio.
Gabarito: Alternativa D (2,4 × 10³ N).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
📌 Comando da questão:
A questão pede para calcular a força que a fita de slackline exerce em cada uma das árvores devido à presença de uma atleta de massa 80 kg, posicionada no meio da fita.
Palavras-chave:
- Força de Tração (T).
- Ângulo de 10° com a horizontal.
- Aceleração da gravidade g = 10 m/s².
- Funções trigonométricas: sen(10°) = 0,17 e cos(10°) = 0,98.
📌 Objetivo:
Determinar a tensão T na fita, que corresponde à força exercida em cada árvore.
⚠ Dica Geral:
O equilíbrio ocorre porque a força peso da atleta é compensada pelas componentes verticais da tração na fita.
Passo 2: Explicação de Conceitos Necessários
🔹 Conceito de Tração (T):
A força de tração é a força que um fio ou corda tensionada exerce em corpos ligados a ele. No slackline, cada lado da fita exerce uma força de tração T sobre as árvores.
🔹 Equilíbrio de forças:
- No equilíbrio estático, a soma das forças verticais deve ser zero.
- A força peso P = mg age verticalmente para baixo.
- A tração T é inclinada, tendo uma componente vertical Ty e uma componente horizontal Tx.
🔹 Decomposição da Tração (T):
A força de tração T é dividida em duas componentes:
✔ Ty (vertical): Ty = T ⋅ sen(10°)
✔ Tx (horizontal): Tx = T ⋅ cos(10°)
Passo 3: Tradução e Interpretação do Texto
Resumo da Situação:
- A atleta está no meio da fita, que se inclina formando 10° com a horizontal.
- A fita exerce forças de tração em ambas as árvores.
- O equilíbrio exige que a soma das forças na direção vertical seja zero, ou seja, a soma das componentes Ty da tração deve equilibrar o peso da atleta.
Relação Fundamental:
A soma das forças verticais deve igualar o peso da atleta:
✔ P = 2Ty
✔ Como Ty = T ⋅ sen(10°), então P = 2T ⋅ sen(10°).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
📌 1. Cálculo da força peso da atleta:
A força peso é dada por:
P = m ⋅ g
Substituindo os valores:
P = 80 ⋅ 10
P = 800 N
📌 2. Igualando à componente vertical da tração:
Sabemos que P = 2T ⋅ sen(10°), então:
800 = 2T ⋅ 0,17
📌 3. Isolando T:
T = 800 / (2 ⋅ 0,17)
T = 800 / 0,34
T = 2352 N ≈ 2,4 × 10³ N
✔ Portanto, a força que a fita exerce em cada árvore é 2,4 × 10³ N.
Passo 5: Análise das Alternativas e Resolução
✅ Alternativa Correta – D) 2,4 × 10³ N:
✔ O cálculo mostrou que a tensão na fita é 2,4 × 10³ N, confirmando a resposta correta.
❌ Alternativa A) 4,0 × 10² N:
- Esse valor está subestimado, possivelmente por erro ao dividir a força corretamente entre as componentes.
❌ Alternativa B) 4,1 × 10² N:
- Mesmo erro de subestimação da força.
❌ Alternativa C) 8,0 × 10² N:
- Esse valor corresponde a apenas P, mas a tensão na fita é muito maior devido ao pequeno ângulo.
❌ Alternativa E) 4,7 × 10³ N:
- Esse valor é quase o dobro da tensão real, indicando erro de cálculo.
⚠ Dica Geral:
Quando um corpo está suspenso por uma corda ou fita inclinada com um ângulo pequeno, a tensão tende a ser muito maior que o peso do corpo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
📌 Conclusão:
- A tração T na fita é responsável por equilibrar o peso da atleta.
- Como a fita forma um ângulo pequeno de 10°, a tração é significativamente maior que o peso da atleta.
- O cálculo correto resultou em T = 2,4 × 10³ N, correspondendo à alternativa D.
🔍 Resumo Final:
✔ A força peso da atleta é 800 N.
✔ Essa força é equilibrada pelas componentes verticais da tração na fita.
✔ A relação matemática mostrou que a força de tração em cada extremidade da fita é 2,4 × 10³ N.
✔ Alternativa correta: D.
