O objetivo de recipientes isolantes térmicos é minimizar as trocas de calor com o ambiente externo. Essa troca de calor é proporcional à condutividade térmica k e à área interna das faces do recipiente, bem como à diferença de temperatura entre o ambiente externo e o interior do recipiente, além de ser inversamente proporcional à espessura das faces.
A fim de avaliar a qualidade de dois recipientes A (40 cm × 40 cm × 40 cm) e B (60 cm × 40 cm × 40 cm), de faces de mesma espessura, uma estudante compara suas condutividades térmicas KA e KB. Para isso suspende, dentro de cada recipiente, blocos idênticos de gelo a 0 °C, de modo que suas superfícies estejam em contato apenas com o ar.
Após um intervalo de tempo, ela abre os recipientes enquanto ambos ainda contêm um pouco de gelo e verifica que a massa de gelo que se fundiu no recipiente B foi o dobro da que se fundiu no recipiente A. A razão KA/KB é mais próxima de
A) 0,50.
B) 0,67.
C) 0,75.
D) 1,33.
E) 2,00.
✍ Resolução Em Texto
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Termologia (Propagação de Calor e Lei de Fourier)
- Calorimetria (Calor Latente)
- Geometria Espacial (Cálculo de Área de Superfície)
Tema/Objetivo Geral:
A questão aplica a Lei de Fourier (condução térmica) em um cenário experimental. O objetivo é comparar as condutividades térmicas (kA e kB) de dois recipientes diferentes, usando a quantidade de gelo derretido como indicador de quanto calor entrou.
Nível da Questão: Médio/Difícil
- Considerada difícil porque exige combinar física (Lei de Fourier) com geometria (cálculo de área total). O aluno precisa perceber que a caixa maior deixa entrar mais calor não só pelo material, mas porque tem mais “parede” exposta.
Gabarito: B
- Esta alternativa está correta pois, ao compararmos as equações, vemos que a razão entre as condutividades depende da quantidade de gelo derretido e inversamente da área total das caixas. O resultado final é aproximadamente 0,67.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo:
A estudante fez uma “corrida de derretimento”. Ela colocou gelo em duas caixas de tamanhos diferentes (A e B). A caixa B deixou entrar calor suficiente para derreter o dobro de gelo que a caixa A. A questão quer saber: Qual é a relação entre a “qualidade do material” da caixa A (kA) e a da caixa B (kB)? Ou seja, quanto vale a divisão kA / kB?
Simplificação Radical (A Analogia Central):
Imagine duas janelas abertas num dia quente.
- Janela A é menor.
- Janela B é maior (tem mais área para o calor entrar).
O calor entra e derrete o gelo lá dentro.
Sabemos que na sala B derreteu o dobro de gelo (entrou o dobro de calor).
Mas atenção: a sala B não derreteu mais só porque o material é diferente, mas também porque ela é maior (tem mais paredes). Precisamos descontar o “efeito tamanho” para descobrir a diferença real dos materiais.
Nosso Plano de Ataque será o seguinte:
- Calcular as Áreas: Descobrir a área total das paredes de cada caixa.
- Equacionar o Calor: Usar a Lei de Fourier para relacionar calor, área e condutividade.
- Montar a Razão: Dividir a equação da caixa A pela equação da caixa B e achar o valor final.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Função Pedagógica: Unificar as leis da termologia em uma única fórmula de trabalho.
A FERRAMENTA MESTRA: LEI DE FOURIER SIMPLIFICADA
O fluxo de calor depende da condutividade (k), da área (A), da diferença de temperatura e da espessura.
Como o tempo, a espessura e as temperaturas são iguais para as duas caixas, podemos dizer que:
O Calor (Q) é proporcional à condutividade (k) vezes a Área (A).
Fórmula prática: Q = k vezes A
Dossiê Geométrico (Cálculo das Áreas):
- Recipiente A (Cubo): 40cm x 40cm x 40cm. Tem 6 faces iguais.
- Recipiente B (Paralelepípedo): 60cm x 40cm x 40cm. Tem 4 faces grandes (60×40) e 2 faces pequenas (40×40).
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Execução Sequencial:
- Cálculo da Área Total de A (AA):
- Lado = 0,4 m.
- Área de uma face = 0,4 x 0,4 = 0,16 metros quadrados.
- Como é um cubo (6 faces): AA = 6 x 0,16 = 0,96 metros quadrados.
- Cálculo da Área Total de B (AB):
- Faces laterais (4 faces de 0,6 x 0,4): 4 x 0,24 = 0,96 metros quadrados.
- Tampas (2 faces de 0,4 x 0,4): 2 x 0,16 = 0,32 metros quadrados.
- Total: AB = 0,96 + 0,32 = 1,28 metros quadrados.
- Relacionando o Calor (Q):
- O texto diz que a massa fundida em B é o dobro de A. Logo, o Calor em B (QB) é o dobro do Calor em A (QA).
- QB = 2 x QA.
- Montando a Razão (kA / kB):
- Usando a fórmula Q = k x A:
- QA = kA x 0,96
- QB = kB x 1,28
- Como QB é o dobro de QA, podemos escrever:
- kB x 1,28 = 2 x (kA x 0,96)
- kB x 1,28 = kA x 1,92
- Isolando a divisão kA / kB:
- kA / kB = 1,28 / 1,92
- Simplificando a fração: 128 dividido por 192 é igual a 2/3.
- Resultado: 0,666… (aprox 0,67).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
A pegadinha mortal aqui é esquecer de calcular a área total e usar apenas as medidas dos lados. O calor entra por todas as paredes! Se você não somar todas as 6 faces corretamente, a conta dá errada. Outro erro comum é inverter a divisão final e achar 1,5.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A caixa B recebeu o dobro de calor, mas ela tem apenas cerca de 33% a mais de área. Isso significa que o material da caixa B deixa passar calor mais facilmente do que o da caixa A. Logo, a condutividade de A é menor que a de B (a razão deve ser menor que 1).
- Expectativa: O valor deve ser próximo de 0,67.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) 0,50.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Área. O aluno pode ter assumido que a Área de B era o dobro da Área de A, o que cancelaria o efeito do calor dobrado, levando a uma razão de 0,5.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) 0,67.
- Análise de Correspondência: Perfeito. A divisão das áreas ajustada pelo dobro do calor resulta na fração 2/3, que é aproximadamente 0,67.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) 0,75.
- Diagnóstico do Erro: Cálculo Impreciso. Pode surgir de erros na simplificação das frações das áreas (ex: usar 3/4 em vez de 2/3).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) 1,33.
- Diagnóstico do Erro: Inversão da Razão. O aluno fez todo o cálculo certo, mas no final calculou kB / kA (que dá 1,5) ou inverteu a fração das áreas de forma errada.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) 2,00.
- Diagnóstico do Erro: Ignorar a Geometria. O aluno pensou: “Se derreteu o dobro de gelo, a condutividade é o dobro”. Ele ignorou completamente que a caixa B era maior e, portanto, tinha mais área para o calor entrar naturalmente.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento:
Confirmamos que o desempenho térmico não depende só do material, mas da geometria: a caixa B derreteu mais gelo porque era maior e seu material era um isolante pior.
Resumo-flash (A Imagem Mental):
🧊 Caixa maior tem mais “janelas” para o calor; para comparar os materiais, desconte o tamanho das janelas.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro):
Esse princípio é fundamental na Arquitetura Bioclimática e na engenharia de refrigeradores. Ao projetar uma casa no deserto ou uma geladeira, queremos minimizar a área de superfície exposta ao calor (por isso geladeiras e iglus tendem a formatos compactos, próximos ao cubo ou esfera). Uma forma muito alongada ou cheia de pontas (como a caixa B) troca calor demais com o ambiente, desperdiçando energia.
