Uma das formas de se obter energia elétrica é usar uma lente convergente circular para concentrar os raios de sol em um único ponto, aquecendo um dispositivo localizado nesse ponto a uma temperatura elevada. Com a transformação da energia luminosa em energia térmica, pode ser criado vapor-d’água que moverá uma turbina e gerará energia elétrica. Para projetar um sistema de geração de energia elétrica, a fim de alimentar um chuveiro elétrico de 2 000 W de potência, sabe-se que, neste local, a energia recebida do Sol é 1 000 W/m².
Esse sistema apresenta taxa de eficiência de conversão em energia elétrica de 50% da energia solar incidente.
Considere √π = 1,8
Qual deve ser, em metro, o raio da lente para que esse sistema satisfaça aos requisitos do projeto?
A) 0,28
B) 0,32
C) 0,40
D) 0,80
E) 1,11
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução
- Óptica geométrica (lentes)
- Energia e potência (W/m²)
- Geometria (área de círculo)
- Rendimento (eficiência energética)
🔢 Nível da Questão
🔹Médio
✅ Gabarito
- E) 1,11
📝 Resolução Passo a Passo
🔍 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
O enunciado apresenta um sistema de captação solar com uma lente circular convergente, usada para concentrar os raios solares e aquecer um ponto. A energia térmica gerada será usada para alimentar um chuveiro elétrico de 2000 W (2 kW).
Ele afirma:
- A energia solar recebida por metro quadrado é de 1000 W/m²
- A eficiência de conversão do sistema é de 50%
- A lente precisa captar energia suficiente para gerar 2000 W de potência útil
✅ O objetivo é encontrar o raio da lente circular necessário para captar essa quantidade de energia.
📖 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
🔹 Potência útil vs. potência captada
Se um sistema tem eficiência de 50%, ele aproveita metade da energia recebida.
Fórmula:
Pᵤₜᵢₗ = η · Pcaptada
🔹 Energia solar incidente
É dada em W/m². A potência total captada depende da área da lente:
Pcaptada = I · A,
onde:
- I = intensidade da radiação solar (1000 W/m²)
- A = área da lente
🔹 Área de um círculo
A = π·R²
📌 Passo 3: Interpretação e Tradução do Texto
Vamos organizar os dados:
- Potência do chuveiro: Pᵤₜᵢₗ = 2000 W
- Eficiência: η = 50% = 0,5
- Irradiação solar: I = 1000 W/m²
O sistema precisa captar uma potência maior, já que só 50% será aproveitada:
Pcaptada = Pᵤₜᵢₗ / 0,5 = 4000 W
Agora, precisamos calcular a área da lente circular que capta essa potência:
Pcaptada = I · A → A = 4000 / 1000 = 4 m²
Com a área, usamos:
A = π·R² → R² = A/π
🧮 Passo 4: Desenvolvimento de Raciocínio e Cálculos
Dados:
- A = 4 m²
- √π = 1,8 (dado pelo enunciado)
Vamos isolar o raio:
R² = 4 / π
R² = 4 / 3,14 ≈ 1,27
R = √1,27 ≈ 1,11 m
Ou, usando o dado do enunciado:
√π = 1,8 → π ≈ 3,24
R² = 4 / 3,24 = 1,23
R = √1,23 ≈ 1,11 m
📘Passo 5: Análise de Alternativas
A) 0,28 ❌
Muito pequeno. Seria uma lente com área menor que 0,25 m², incompatível com os 4000 W exigidos.
B) 0,32 ❌
Mesma lógica: valor pequeno, área ≈ 0,32²·π ≈ 0,32 m².
C) 0,40 ❌
A lente ainda estaria longe da área mínima de 4 m².
D) 0,80 ❌
Área aproximada = π·(0,8)² ≈ 2 m² — ainda insuficiente para captar 4000 W.
✅ E) 1,11 ✔
Área = π·(1,11)² ≈ 3,9 m² → ✔ compatível com o necessário.
Confirma os cálculos e atende ao projeto.
✅ Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
A lente precisa captar 4000 W de energia solar para, com 50% de eficiência, gerar os 2000 W úteis exigidos pelo chuveiro. Como a intensidade solar é de 1000 W/m², a lente precisa ter área de 4 m². Aplicando a fórmula da área do círculo, chegamos a um raio de aproximadamente 1,11 metros.
✅ Alternativa correta: Letra E
