O tangram é um jogo oriental antigo, uma espécie de quebra-cabeça, constituído de sete peças: 5 triângulos retângulos e isósceles, 1 paralelogramo e 1 quadrado. Essas peças são obtidas recortando-se um quadrado de acordo com o esquema da figura 1. Utilizando-se todas as sete peças, é possível representar uma grande diversidade de formas, como as exemplificadas nas figuras 2 e 3.
Se o lado AB do hexágono mostrado na figura 2 mede 2 cm, então a área da figura 3, que representa uma “casinha”, é igual a
A) 4 cm2.
B) 8 cm2.
C) 12 cm2.
D) 14 cm2.
E) 16 cm2.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Geometria Plana (Cálculo de Área de Triângulos e Quadrados)
- Raciocínio Lógico-Espacial
- Interpretação de Imagem
- Tema/Objetivo Geral: Aplicação do princípio da conservação de área em um problema de quebra-cabeça geométrico (Tangram).
- Nível da Questão: Médio.
- A questão contém uma distração clássica: pede a área da Figura 3, mas dá uma pista sobre a Figura 2. O sucesso depende de duas etapas: 1) perceber o princípio fundamental de que a área total é sempre a mesma e 2) identificar visualmente e corretamente a qual das sete peças pertence o lado AB, o que pode ser sutil.
- Gabarito: B
- Explicação Resumida: A área da “casinha” é idêntica à área do quadrado original. Ao identificar que o lado AB é o cateto de um dos triângulos grandes, calculamos a área dessa peça e, por proporção, a área total do conjunto, que é de 8 cm².
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é: “Use a medida de um pedacinho da Figura 2 para descobrir a área total da Figura 3.”
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nas sete peças do Tangram como um conjunto de blocos de Lego. A “Lei Suprema” do Tangram é que, não importa a figura que você monte (um quadrado, um hexágono, uma casinha), a quantidade total de plástico — a área — é sempre a mesma. A pergunta sobre a área da casinha é uma distração. A verdadeira missão do detetive é descobrir: Qual é a área total do conjunto de peças?
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Estabelecer a Lei: Vamos começar com a regra de ouro: a área da Figura 1, da Figura 2 e da Figura 3 são todas iguais.
- Identificar a Pista: A parte mais crítica da investigação. Vamos analisar a Figura 2 para identificar, sem sombra de dúvida, a qual das 7 peças do Tangram pertence o lado AB.
- Calcular a Área da Pista: Com a identidade da peça revelada e sua medida (2 cm), vamos calcular a área apenas dessa peça.
- Deduzir a Área Total: Usando a proporção entre a peça-pista e o conjunto todo, vamos calcular a área total do Tangram. Essa será a resposta final.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para decifrar a estrutura do Tangram, vamos construir o raciocínio juntos com um Diálogo Mentor-Aluno focado na lógica visual.
Diálogo Mentor-Aluno 🕵️♂️&🧠:
- 🕵️♂️ Mentor: “Detetive, vamos focar na evidência principal: o quadrado original da Figura 1. Imagine uma linha diagonal traçada de um canto ao outro. O que essa linha faz com a área total do quadrado?”
- 🧠 Aluno: “Ela o divide exatamente em duas metades iguais, dois grandes triângulos.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Perfeito. Agora, olhe atentamente para as peças que compõem o Tangram. Quais peças preenchem exatamente uma dessas metades?”
- 🧠 Aluno: “Estou vendo… Os dois triângulos grandes, lado a lado, preenchem perfeitamente uma das metades que a diagonal criou.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Exato. E aí está a nossa pista de ouro, a chave para o caso. Se os dois triângulos gigantes juntos formam metade da área total, isso significa que se descobrirmos a área deles, basta dobrar o valor para encontrar a área do Tangram inteiro. É essa a estratégia que usaremos.”
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos aplicar nossas ferramentas e seguir o plano.
- A Lei da Conservação de Área: A área da casinha (Figura 3) é a mesma do hexágono (Figura 2) e do quadrado (Figura 1). Nosso objetivo é encontrar essa área única.
- Identificando a Pista (O Momento Crítico): Olhando atentamente para a Figura 2, vemos que o lado AB está na borda esquerda da forma. A peça a que ele pertence é um dos dois triângulos grandes. O lado AB, que mede 2 cm, é um dos lados menores (um dos catetos) desse triângulo retângulo.
- Calculando a Área da Peça-Pista:
- Peça identificada: Triângulo Grande.
- Tipo: Triângulo retângulo e isósceles. Seus dois catetos são iguais.
- Medida do cateto (base e altura): AB = 2 cm.
- Área = (base × altura) / 2 = (2 cm × 2 cm) / 2 = 2 cm².
- Deduzindo a Área Total:
- Nós descobrimos que a área de UM triângulo grande é de 2 cm².
- Nosso dossiê nos diz que os DOIS triângulos grandes juntos formam METADE da área total do Tangram.
- Área dos dois triângulos grandes = 2 × 2 cm² = 4 cm².
- Se 4 cm² é a metade da área total, então a área total é: 2 × 4 cm² = 8 cm².
- Conclusão da Investigação: A área total do conjunto de peças do Tangram é 8 cm². Como a casinha é feita com todas as peças, sua área também é 8 cm².
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é misidentificar a peça a que o lado AB pertence. Um olhar apressado poderia confundi-la com o triângulo médio ou com o quadrado. Se o candidato assumir que o lado do quadrado mede 2 cm, por exemplo, os cálculos levariam a uma área total de 16 cm², uma alternativa que está lá para pegar os desatentos. A chave é a identificação visual correta.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A área de todas as figuras montadas com o Tangram é a mesma. O lado AB (2 cm) é o cateto de um triângulo grande, cuja área é de 2 cm². Como os dois triângulos grandes juntos formam metade do Tangram, a área total é o dobro da área deles somada (2 x (2+2) = 8 cm²).
- Expectativa: A resposta correta deve ser 8 cm².
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Vamos agora confrontar cada suspeito com as evidências irrefutáveis.
- Alternativa A: 4 cm².
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calcula corretamente a área dos dois triângulos grandes juntos (2 cm² + 2 cm² = 4 cm²), mas para aí. Ele esquece que essas peças são apenas metade do quebra-cabeça.
- O “Diagnóstico do Erro”: Análise Incompleta. Descreveu uma parte importante da solução, mas não a solução inteira.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- Alternativa B: 8 cm².
- Análise de Correspondência: Esta alternativa corresponde perfeitamente ao resultado da nossa investigação. É a área total do conjunto de peças, calculada a partir da pista fornecida.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- Alternativa C: 12 cm².
- A “Narrativa do Erro”: Provavelmente um erro de cálculo ou de proporção. O candidato pode ter somado a área total (8 cm²) com a área de metade (4 cm²), chegando a 12 cm².
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo. Não há um caminho lógico claro que leve a este resultado, indicando uma falha na aplicação das proporções.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- Alternativa D: 14 cm².
- A “Narrativa do Erro”: Outro erro de cálculo. Não representa nenhuma fração lógica da área total do Tangram.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- Alternativa E: 16 cm².
- A “Narrativa do Erro”: Este é o resultado da “Armadilha Clássica”. O candidato identifica erroneamente o lado AB como sendo o lado do quadrado ou o cateto do triângulo médio. Se o cateto do triângulo médio fosse 2 cm, a área total seria 16 cm².
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro na Identificação da Evidência. A falha não está no cálculo, mas na premissa inicial, causada por uma interpretação visual incorreta da pista. É a distratora mais forte.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a alternativa B é a correta. Este caso nos ensina uma lição fundamental da geometria e da lógica: em um sistema fechado como o Tangram, a forma pode ser enganosa, mas a área é uma verdade constante.
Resumo-flash (A Imagem Mental): A alma do quadrado original (sua área) vive dentro de todas as figuras que o Tangram pode formar.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O princípio da Conservação da Área do Tangram é uma analogia perfeita para a Primeira Lei da Termodinâmica (Conservação de Energia) na Física. A energia em um sistema isolado não pode ser criada nem destruída, apenas transformada de uma forma para outra (de energia potencial para cinética, de química para térmica, etc.). Assim como as peças do Tangram se rearranjam em novas formas com a mesma área total, a energia se converte em diferentes tipos, mas a quantidade total no universo permanece constante.
