Considere o quociente (kₙ) = n/2ᵇ, em que n,b ∈ ℕ*.
a. Para b = 3, (kₙ) forma uma progressão. Indique se a progressão formada é aritmética ou geométrica e forneça o valor da razão.
b. Se n é um número par e b ≤ 3, qual é o número máximo de casas decimais de kₙ?
c. Qual é o menor n, em função de b, tal que k₁ + k₂ + … + kₙ é um número inteiro?
RESOLUÇÃO
A questão nos apresenta uma sequência numérica, kn = n/2b, onde n e b são números naturais estritos (pertencentes ao conjunto ℕ*, que inclui 1, 2, 3, e assim por diante). Precisamos analisar diferentes aspectos dessa sequência em três itens.
Analisando a Progressão para b = 3
No item a., somos solicitados a determinar a natureza da progressão formada quando o valor de b é fixado em 3, e então encontrar o valor da razão dessa progressão. Para começar, vamos substituir b = 3 na expressão de kn.
kn = n/2b
kn = n/23
kn = n/8
Agora que temos a forma explícita de kn para b = 3, vamos listar os primeiros termos da sequência para identificar seu padrão. Lembre-se de que n ∈ ℕ*, então n começa em 1.
- Para n = 1, k1 = 1/8.
- Para n = 2, k2 = 2/8.
- Para n = 3, k3 = 3/8.
Uma progressão pode ser aritmética (PA) ou geométrica (PG). Em uma Progressão Aritmética, a diferença entre termos consecutivos é constante. Essa diferença é chamada de razão (d). Em uma Progressão Geométrica, o quociente entre termos consecutivos é constante. Esse quociente é chamado de razão (q).
Vamos testar a diferença entre os termos consecutivos:
k2 – k1 = 2/8 – 1/8 = 1/8
k3 – k2 = 3/8 – 2/8 = 1/8
Como a diferença entre os termos consecutivos é constante e igual a 1/8, concluímos que a sequência (kn) é uma Progressão Aritmética. Não é necessário testar para uma Progressão Geométrica, pois já confirmamos que é uma PA. Se quiséssemos verificar, o quociente k2 / k1 = (2/8) / (1/8) = 2, enquanto k3 / k2 = (3/8) / (2/8) = 3/2. Como os quocientes não são iguais, não seria uma PG.
a. Progressão Aritmética com razão 1/8.
O modelo ideal de resposta para este item deve primeiro substituir o valor de b na expressão de kn. Em seguida, calcular alguns dos primeiros termos da sequência para observar o padrão. Finalmente, determinar a diferença entre termos consecutivos para verificar se é constante (PA) ou o quociente entre termos consecutivos para verificar se é constante (PG), indicando a classificação e o valor da razão encontrada.
Determinando o Máximo de Casas Decimais
Para o item b., devemos encontrar o número máximo de casas decimais de kn sob as condições de que n é um número par e b ≤ 3.
Uma fração resultará em um número decimal com um número finito de casas se, e somente se, o denominador da fração irredutível tiver apenas fatores primos 2 e/ou 5. O número de casas decimais é determinado pela maior potência de 2 ou 5 no denominador.
A expressão geral é kn = n/2b. A condição de que n é um número par significa que podemos escrever n = 2m, onde m é um número natural (m ∈ ℕ*, já que n ∈ ℕ*).
kn = (2m)/2b
kn = m/2b-1
Para que o número de casas decimais seja o máximo possível, a potência de 2 no denominador da fração irredutível deve ser a maior possível. Isso significa que m deve ser um número ímpar, ou seja, m não deve conter nenhum fator de 2 que possa simplificar ainda mais o denominador.
A condição b ≤ 3 implica que b pode assumir os valores 1, 2, ou 3. Para maximizar o número de casas decimais, precisamos maximizar a potência b-1. Isso ocorre quando b assume seu valor máximo, que é b = 3.
Substituindo b = 3 na expressão simplificada, temos:
kn = m/23-1
kn = m/22
kn = m/4
Para que a fração m/4 tenha o máximo de casas decimais, m deve ser um número ímpar, como 1, 3, 5, etc. Por exemplo, se m = 1 (o que significaria n = 2 · 1 = 2, que é par), teríamos k2 = 1/4 = 0,25. Este valor tem 2 casas decimais.
A quantidade de casas decimais é determinada pela potência do denominador 2, que é 2. Portanto, o número máximo de casas decimais é 2.
b. O número máximo de casas decimais de kn é 2.
Para responder a este item, o aluno deve primeiro reescrever kn considerando que n é par (n = 2m) para simplificar a expressão. Em seguida, deve identificar qual valor de b (dentro da restrição b ≤ 3) maximizará a potência de 2 no denominador da fração irredutível. A potência resultante de 2 no denominador da fração irredutível (assumindo que o numerador seja ímpar para não haver simplificações adicionais de fatores 2) dita o número de casas decimais.
Encontrando o Menor n para uma Soma Inteira
No item c., o objetivo é encontrar o menor valor de n, em função de b, tal que a soma k1 + k2 + … + kn resulte em um número inteiro.
Vamos primeiramente expressar a soma Sn = k1 + k2 + … + kn.
Sn = Σi=1n ki
Sn = Σi=1n (i / 2b)
Sn = (1/2b) · Σi=1n i
A soma dos primeiros n números naturais é dada pela fórmula Σi=1n i = n(n+1)/2. Substituindo esta fórmula na expressão de Sn, obtemos:
Sn = (1/2b) · [n(n+1)/2]
Sn = n(n+1) / 2b+1
Para que Sn seja um número inteiro, o numerador n(n+1) deve ser divisível pelo denominador 2b+1.
Observe que n e n+1 são números inteiros consecutivos. Isso implica que um deles é par e o outro é ímpar, e eles não compartilham nenhum fator primo além de 1. Portanto, todos os fatores de 2 que compõem 2b+1 devem estar contidos ou em n ou em n+1, mas não em ambos.
Para encontrar o menor valor de n que satisfaça essa condição, devemos procurar a menor situação em que um dos termos (n ou n+1) é um múltiplo de 2b+1.
Temos duas possibilidades a considerar:
- Caso 1: n é um múltiplo de 2b+1. O menor valor positivo para n seria n = 2b+1. Neste caso, n+1 seria 2b+1 + 1 (que é ímpar, como esperado).
- Caso 2: n+1 é um múltiplo de 2b+1. O menor valor positivo para n+1 seria 2b+1. Isso nos daria n = 2b+1 – 1. Neste caso, n seria 2b+1 – 1 (que é ímpar, como esperado).
Comparando os dois possíveis valores para n, que são 2b+1 e 2b+1 – 1, o menor deles é 2b+1 – 1.
Portanto, o menor valor de n em função de b é n = 2b+1 – 1.
c. O menor n em função de b é 2b+1 – 1.
A resolução para este item começa expressando a soma k1 + … + kn em uma forma simplificada, utilizando a fórmula da soma dos primeiros n números naturais. O próximo passo é estabelecer a condição para que essa soma seja um número inteiro, ou seja, o numerador deve ser divisível pelo denominador. Finalmente, deve-se usar o fato de que n e n+1 são primos entre si em relação a fatores de 2 para determinar o menor n que satisfaça a condição de divisibilidade, resultando em n = 2b+1 – 1.
