O número de pessoas que morrem nas ruas e estradas brasileiras nunca foi tão alto. As últimas mudanças na legislação mostram-se incapazes de frear o aumento dos acidentes. O número de mortes em 2004 foi de 35.100 pessoas e 38.300, em 2008. Admita que o apresentado um crescimento anual constante.
A expressão algébrica que fornece o número de mortes N, no ano x (com 2004 ≤ x ≤ 2008), é dada por.
A) N= 800x + 35.100
B) N=800(x-2004)+35.100
C) N=800(x-2004)
D) N=3.200(x-2004)+35.100
E) N=3.200x+35.100
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão: Função do 1º Grau (Função Afim), Álgebra, Interpretação de Texto.
- Tema/Objetivo Geral: Modelagem matemática de um problema que descreve um crescimento linear a partir de dois pontos no tempo.
- Nível da Questão: Médio. A questão exige a tradução de uma situação real para uma linguagem algébrica. A dificuldade não está na complexidade do cálculo, mas em compreender a estrutura da função, especialmente a representação do tempo como (x – ano inicial), e em calcular corretamente a taxa de variação anual.
- Gabarito: B) N = 800(x – 2004) + 35.100. A expressão representa corretamente o número inicial de mortes em 2004 (35.100) e adiciona o crescimento anual constante de 800 mortes para cada ano x que se passa após 2004.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é encontrar a fórmula (a expressão algébrica) que funciona como uma “máquina do tempo” para calcular o número de mortes (N) em qualquer ano (x) entre 2004 e 2008, sabendo que o aumento de mortes foi o mesmo a cada ano.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma conta de poupança. Em 2004, a conta tinha um saldo de R$ 35.100. Em 2008, o saldo era de R$ 38.300. Sabendo que o dono da conta depositou exatamente a mesma quantia todo ano, o desafio é criar uma fórmula que permita calcular o saldo da conta em qualquer ano nesse período. O “crescimento anual constante” é o valor desse depósito anual fixo.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): O plano para solucionar este caso será:
- Calcular o Aumento Total: Descobrir quantas mortes a mais ocorreram entre o início e o fim do período.
- Calcular a Taxa Anual: Dividir o aumento total pelo número de anos para encontrar o “crescimento anual constante”.
- Construir a Expressão: Montar a fórmula usando o valor inicial (de 2004) e a taxa anual encontrada.
- Verificar a Resposta: Testar a fórmula encontrada para os anos de 2004 e 2008 para garantir que ela bate com os dados do enunciado.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta central é a estrutura de uma Função do 1º Grau, que descreve qualquer crescimento constante. A forma geral é Valor Final = (Taxa de Variação × Tempo) + Valor Inicial.
🕵️♂️ Dossiê da Função de Crescimento 🕵️♂️
- Valor Inicial (Ponto de Partida): É o número de mortes no ano base, 2004.
- Valor Inicial = 35.100.
- Variável de Tempo (O Cronômetro): A fórmula não usa o ano x diretamente, mas sim quantos anos se passaram desde 2004. Essa é a chave para entender as alternativas.
- Tempo Passado = (Ano Atual – Ano Inicial) = (x – 2004).
- Taxa de Variação (O Ritmo do Crescimento): É o “crescimento anual constante”, o número fixo de mortes a mais a cada ano. Este é o valor que precisa ser calculado.
- Taxa Anual = ???
- A Fórmula do Enigma: Juntando as peças, a estrutura da resposta será:
- N = (Taxa Anual) × (x – 2004) + 35.100
Com este dossiê, a única peça que falta no quebra-cabeça é a Taxa Anual.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Executando o plano de ataque para encontrar a peça que falta.
- Calcular o Aumento Total:
- Aumento = Mortes em 2008 – Mortes em 2004
- Aumento = 38.300 – 35.100 = 3.200 mortes.
- Calcular a Taxa Anual:
- Período de tempo = 2008 – 2004 = 4 anos.
- Taxa Anual = Aumento Total / Período de tempo
- Taxa Anual = 3.200 / 4 = 800 mortes por ano.
- Construir a Expressão Final:
- Agora, basta substituir a Taxa Anual na fórmula do nosso dossiê:
- N = 800 × (x – 2004) + 35.100
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é o número 3.200. Após calcular o aumento total, é muito tentador procurar uma alternativa que use esse número como a taxa de crescimento. A alternativa (D) foi criada exatamente para isso. Ela pune o estudante que encontra o aumento total, mas esquece de dividi-lo pelo número de anos para encontrar a taxa anual. O enunciado pede um crescimento anual constante, não o total.
- A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: O modelo matemático deve representar um valor inicial de 35.100 somado a um acréscimo de 800 para cada ano transcorrido desde 2004.
- Expectativa: A expressão correta deve ter a forma N = 800(x – 2004) + 35.100.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
A) N = 800x + 35.100
- A Narrativa do Erro: O estudante multiplica a taxa anual (800) pelo ano completo (ex: 2004), o que geraria um número astronômico e sem sentido, em vez de multiplicar pelo tempo decorrido.
- Diagnóstico do Erro: Erro de Modelagem (Uso incorreto da variável de tempo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
B) N = 800(x – 2004) + 35.100
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à “Expectativa”. Vamos testar, como faria um detetive na prova:
- Para x = 2004: N = 800(0) + 35.100 = 35.100. (Confere!)
- Para x = 2008: N = 800(4) + 35.100 = 3.200 + 35.100 = 38.300. (Confere!)
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
C) N = 800(x – 2004)
- A Narrativa do Erro: Esta expressão ignora completamente o valor inicial de 35.100 mortes em 2004. Para x=2004, o resultado seria N=0.
- Diagnóstico do Erro: Desconsideração do Valor Inicial.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
D) N = 3.200(x – 2004) + 35.100
- A Narrativa do Erro: Este é o erro da “Armadilha Clássica”. O estudante usa o aumento total (3.200) como se fosse a taxa anual.
- Diagnóstico do Erro: Confundir o Aumento Total com a Taxa Anual.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
E) N = 3.200x + 35.100
- A Narrativa do Erro: Combina os dois erros principais: usa o aumento total como taxa anual e multiplica pelo ano completo em vez do tempo decorrido.
- Diagnóstico do Erro: Combinação de Erros (Modelagem e Confusão Conceitual).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirma-se que a resposta correta é a (B), pois ela é a única que modela com precisão tanto o ponto de partida (o valor em 2004) quanto a velocidade constante de crescimento (a taxa de 800 mortes por ano).
- Resumo-flash (A Imagem Mental): A fórmula do crescimento é: Ponto de Partida + (Ritmo Anual × Anos que se Passaram).
- 🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo método de modelagem é a base para a Climatologia e o estudo do aquecimento global. Cientistas usam dados de temperatura de décadas passadas para estabelecer uma “linha de base” (o nosso valor de 2004). A partir daí, eles calculam a taxa média de aumento de temperatura por década (a nossa “taxa anual”). A fórmula Temperatura(ano) = (Taxa de Aumento) × (ano – ano_base) + Temperatura_base que eles usam para fazer projeções e entender tendências é estruturalmente idêntica à que foi usada para resolver esta questão.
