A direção de uma escola comprará lapiseiras para distribuir para os seus alunos. Sabe-se que x lapiseiras custam y reais.
O número máximo de lapiseiras que a direção da escola conseguirá comprar com z reais é o maior inteiro menor do que, ou igual a
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Regra de Três Simples
- Raciocínio Proporcional
- Manipulação Algébrica Básica
- Tema/Objetivo Geral: Modelagem matemática de um problema prático, traduzindo uma relação de proporcionalidade para uma expressão algébrica.
- Nível da Questão: Fácil.
- Detalhe: A questão é classificada como fácil, pois sua estrutura é a aplicação direta e clássica da regra de três. A única barreira é a “abstração” — o uso de variáveis (x, y, z) em vez de números concretos, o que pode intimidar, mas não aumenta a complexidade matemática do problema.
- Gabarito: A) (x ⋅ z) / y
- Explicação Resumida: A quantidade de lapiseiras que se pode comprar é diretamente proporcional ao dinheiro disponível. A expressão correta representa essa relação, ajustando a quantidade original (x) pelo fator de variação do dinheiro (z/y).
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é criar uma “fórmula universal” que nos diga quantas lapiseiras podemos comprar com qualquer quantia de dinheiro (z), baseando-nos em uma informação de preço já conhecida (x lapiseiras custam y reais).
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como uma receita de bolo. A receita original informa: “com y gramas de farinha, você faz x cupcakes”. A questão é: “se você agora tem z gramas de farinha, quantos cupcakes consegue fazer?”. O verdadeiro desafio aqui é simplesmente formalizar essa relação de escala com as letras fornecidas.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso plano será o seguinte:
- Organizar as Pistas: Listar as grandezas (lapiseiras e reais) e as variáveis correspondentes em uma tabela para visualizar a relação.
- Estabelecer a Proporção: Identificar que a relação é de proporcionalidade direta (mais dinheiro compra mais lapiseiras) e montar a estrutura da regra de três.
- Resolver para a Incógnita: Isolar a variável que representa o número desconhecido de lapiseiras para encontrar a fórmula final.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a combinação de um Dossiê de Variáveis com um Fluxograma de Raciocínio (em Texto) é a forma mais clara de organizar as informações e construir a lógica.
- Dossiê das Variáveis (As Peças do Quebra-Cabeça):
- 🕵️♂️ Variável X: A quantidade de lapiseiras que já conhecemos.
- 💰 Variável Y: O custo em reais associado à quantidade x.
- 💵 Variável Z: O novo capital disponível para a compra.
- 🎯 Incógnita (vamos chamá-la de N): O número máximo de lapiseiras que podemos comprar com o capital z.
- Fluxograma de Raciocínio (A Lógica da Regra de Três):
- Relação Conhecida:
x lapiseiras <——-> y reais - Relação Desejada:
N lapiseiras <——-> z reais - ⬇️
- Análise da Proporção: Se o valor em reais (z) aumenta em relação a y, o número de lapiseiras (N) também deve aumentar em relação a x. As grandezas são diretamente proporcionais.
- ⬇️
- Montagem da Equação: Para grandezas diretamente proporcionais, a multiplicação cruzada é válida:
N ⋅ y = x ⋅ z - ⬇️
- Solução Final: Para descobrir o valor de N, basta isolá-lo na equação:
N = (x ⋅ z) / y
- Relação Conhecida:
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano com precisão cirúrgica.
- Execução Sequencial:
- Organização das Pistas:
| Grandeza 1 (Lapiseiras) | Grandeza 2 (Reais) |
| x:————————- y |
| N (o que queremos)—– z | - Aplicação da Proporção: Por ser uma relação direta, multiplicamos em cruz:
N ⋅ y = x ⋅ z - Isolamento da Incógnita: Agora, para deixar o N sozinho, passamos o y, que está multiplicando, para o outro lado da equação, onde ele irá dividir:
N = (x ⋅ z) / y
- Organização das Pistas:
- 🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais sedutora aqui é o “pânico algébrico”. Ao ver x, y e z, a primeira reação de muitos é tentar substituir por números fáceis (ex: “10 lapiseiras custam 20 reais…”). Embora isso possa funcionar, é um caminho mais longo e perigoso, com mais etapas e, portanto, mais chances de erro. O examinador usou letras de propósito para testar sua capacidade de pensar de forma abstrata. Confie na álgebra; ela é sua aliada mais rápida e segura neste caso. - A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: A investigação deduziu que o número de lapiseiras (N) é igual à quantidade original (x) multiplicada pela razão entre o novo capital e o capital antigo (z/y).
- Expectativa: A alternativa correta deve apresentar a expressão algébrica exata que encontramos: (x ⋅ z) / y.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
Confrontaremos nossa expectativa com as opções fornecidas.
- A) (x ⋅ z) / y
- Análise de Correspondência: A expressão é idêntica à que deduzimos em nossa investigação. Ela representa perfeitamente a lógica da regra de três para este problema.
- Conclusão: ✔️ Alternativa correta.
- B) (y ⋅ z) / x
- A “Narrativa do Erro”: O candidato provavelmente se confundiu ao montar a regra de três, trocando a posição do x e do y. Ele pode ter associado “custo” (y) com a nova compra (z) no numerador.
- Diagnóstico do Erro: Inversão de Variáveis.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- C) z / (y ⋅ x)
- A “Narrativa do Erro”: Aqui, o raciocínio pode ter sido uma tentativa confusa de calcular um “fator de custo” (y ⋅ x) e usá-lo para dividir o novo capital z, o que não tem lógica no contexto do problema.
- Diagnóstico do Erro: Confusão Conceitual.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- D) z / y
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou corretamente o “fator de escala” do dinheiro (z/y), que diz quantas vezes o novo capital é maior que o antigo. No entanto, ele parou aí e não aplicou esse fator à quantidade original de lapiseiras (x).
- Diagnóstico do Erro: Reducionismo (Descreve a parte, não o todo).
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
- E) z / x
- A “Narrativa do Erro”: O candidato criou uma relação que não existe no problema, dividindo o novo capital (z) pela quantidade original de lapiseiras (x), ignorando completamente o preço original (y).
- Diagnóstico do Erro: Fuga ao Tema / Relação Espúria.
- Conclusão: ❌ Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
- Frase de Fechamento: Confirmamos inequivocamente que a alternativa (A) é a correta, pois a aplicação direta da regra de três nos levou à fórmula (x ⋅ z) / y para determinar o número de lapiseiras.
- Resumo-flash (A Imagem Mental): Para achar o novo total, pegue o total antigo (x) e multiplique pela proporção do “combustível” (z/y).
- 🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): Este mesmo princípio de proporção direta é a espinha dorsal de cálculos em Química para o preparo de soluções. Se um químico sabe que x gramas de um reagente são necessários para preparar y litros de uma solução, e ele precisa preparar um novo volume de z litros, a quantidade de reagente necessária (N) será calculada exatamente pela mesma fórmula: N = (x ⋅ z) / y. A lógica que dimensiona uma compra escolar é a mesma que dimensiona um experimento em laboratório.
