Uma microempresa especializou-se em produzir um tipo de chaveiro personalizado para brindes. O custo de produção de cada unidade é de R$ 0,42 e são comercializados em pacotes com 400 chaveiros, que são vendidos por R$ 280,00. Além disso, essa empresa tem um custo mensal fixo de R$ 12 800,00 que não depende do número de chaveiros produzidos.
Qual é o número mínimo de pacotes de chaveiros que devem ser vendidos mensalmente para que essa microempresa não tenha prejuízo no mês?
A) 26
B) 46
C) 109
D) 114
E) 115
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função do 1º Grau (Função Custo e Função Receita)
- Inequação do 1º Grau
- Matemática Financeira Básica
Tema/Objetivo Geral: Determinação do ponto de equilíbrio (break-even point), que é a quantidade mínima de vendas para cobrir todos os custos e não ter prejuízo.
Nível da Questão: Médio.
- Detalhe do nível: A questão é de nível médio pois exige a interpretação de um cenário comercial para modelar duas funções (Custo Total e Receita) e, a partir delas, montar e resolver uma inequação. Não é um cálculo direto, demandando organização e raciocínio.
Gabarito: Alternativa E.
- A alternativa está correta porque a resolução da inequação Receita ≥ Custo Total resulta em x ≥ 114,28…. Como o número de pacotes deve ser inteiro, o mínimo necessário para não ter prejuízo é 115.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual é o número mínimo de pacotes de chaveiros que devem ser vendidos mensalmente para que essa microempresa não tenha prejuízo no mês?”
1.2 O que está sendo pedido?
Em termos simples, o problema quer saber: quantos pacotes a empresa precisa vender para, no mínimo, empatar? Ou seja, para que o dinheiro que entra com as vendas seja suficiente para pagar todas as contas (fixas e de produção).
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar o menor número inteiro de pacotes (x) que satisfaça a condição: Receita Total ≥ Custo Total.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou de separar os custos? O custo total não é apenas a conta fixa de R$ 12.800,00; ele também inclui o custo de fabricação de cada um dos chaveiros vendidos!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos entender os conceitos básicos de finanças de uma empresa:
- Receita (R): É todo o dinheiro que entra com a venda dos produtos.
- Fórmula: Receita = (Preço de Venda por Pacote) × (Número de Pacotes Vendidos)
- Custos (C): São todos os gastos da empresa. Eles se dividem em dois tipos:
- Custo Fixo (CF): Gastos que não mudam, não importa se a empresa produziu 1 ou 1000 chaveiros. No problema, é o valor de R$ 12.800,00 (aluguel, salários, etc.).
- Custo Variável (CV): Gastos que dependem diretamente da quantidade produzida. Aqui, é o custo de R$ 0,42 por cada chaveiro.
- Custo Total (CT): É a soma de todos os custos.
- Fórmula: Custo Total = Custo Fixo + Custo Variável Total
- Condição de “Não Ter Prejuízo”: Isso acontece quando a Receita é maior ou igual ao Custo Total. O ponto onde Receita = Custo Total é chamado de ponto de equilíbrio.
- Fórmula: R ≥ CT
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos “mastigar” a situação: você abriu uma pequena fábrica de chaveiros. Todo mês, faça chuva ou faça sol, você tem uma conta de R$ 12.800 para pagar. Além disso, cada chaveiro que você produz te custa R$ 0,42. Você vende esses chaveiros em pacotões de 400 unidades por R$ 280,00 cada. A pergunta é: quantos pacotões você tem que vender no mês só para ficar no zero a zero e pagar todas as contas?
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é bem direto:
- Definir nossa variável x como o número de pacotes vendidos.
- Escrever a fórmula da Receita Total em função de x.
- Escrever a fórmula do Custo Total em função de x.
- Montar a inequação Receita Total ≥ Custo Total e resolver para x.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a nossa estratégia.
1. Definindo a variável:
- x = número de pacotes de chaveiros vendidos.
2. Expressão da Receita Total (R):
O preço de cada pacote é R$ 280,00.
R(x) = 280 * x
3. Expressão do Custo Total (CT):
- Custo Fixo (CF): R$ 12.800,00
- Custo Variável (CV) por pacote: Cada pacote tem 400 chaveiros, e cada chaveiro custa R$ 0,42. Custo por pacote = 400 . 0,42 = R$ 168,00.
- Custo Variável Total: É o custo de um pacote vezes o número de pacotes.
CV(x) = 168 * x
- Custo Total: É a soma do fixo com o variável.
CT(x) = 12.800 + 168 * x
4. Montando e resolvendo a inequação (R ≥ CT):
280x ≥ 12.800 + 168x
Agora, vamos isolar o x. Passamos o 168x para a esquerda, subtraindo:
280x – 168x ≥ 12.800
112x ≥ 12.800
Agora, dividimos ambos os lados por 112:
x ≥ 12.800 / 112
x ≥ 114,2857…
4.2 Verificação Intermediária
O resultado nos diz que a empresa precisa vender no mínimo 114,28… pacotes. Como não é possível vender uma fração de pacote, a empresa precisa vender o próximo número inteiro para garantir que não terá prejuízo. O menor número inteiro que é maior que 114,28… é 115.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum em problemas como este é o arredondamento. Ao ver o resultado 114,28…, a tentação é arredondar para 114. Porém, se a empresa vender apenas 114 pacotes, sua receita ainda será um pouco menor que seu custo total, resultando em um pequeno prejuízo. Para “não ter prejuízo”, é preciso atingir ou ultrapassar o ponto de equilíbrio, por isso devemos sempre arredondar para cima.
4.4 fechamento e expectativa
Nosso cálculo preciso nos levou ao número mínimo de 115 pacotes. Agora, vamos procurar este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
a) 26
b) 46
c) 109
d) 114
e) 115
5.2 Justificativa Individual
- a), b), c) – 🔴 Incorretas. Esses valores são muito baixos e resultariam em grande prejuízo.
- d) 114 – 🔴 Incorreta. Esta é a “pegadinha” do arredondamento. Vender 114 pacotes ainda não é suficiente para cobrir todos os custos.
- e) 115 – 🟢 Correta. É o menor número inteiro de pacotes que faz a receita ser maior ou igual ao custo total, garantindo que a empresa não tenha prejuízo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao modelar a situação financeira da empresa com as funções de Receita e Custo. Impusemos a condição de “não ter prejuízo” (Receita ≥ Custo Total), o que gerou uma inequação do 1º grau. A resolução dessa inequação, com a correta interpretação do resultado (arredondamento para o próximo inteiro), nos deu o número mínimo de pacotes a serem vendidos.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E), 115.
6.3 Resumo Final para Revisão
🔍 Para encontrar o ponto de equilíbrio de um negócio, lembre-se sempre da regra de ouro: Receita ≥ Custos. Monte a inequação e, se o resultado for decimal, arredonde sempre para o próximo número inteiro
