Na última eleição para a presidência de um clube, duas chapas se inscreveram (I e II). Há dois tipos de sócio: patrimoniais e contribuintes. Votos de sócios patrimoniais têm peso 0,6 e de sócios contribuintes têm peso 0,4. A chapa I recebeu 850 votos de sócios patrimoniais e 4 300 de sócios contribuintes; a chapa II recebeu 1 300 votos de sócios patrimoniais e 2 120 de sócios contribuintes.
Não houve abstenções, votos em branco ou nulos, e a chapa I foi vencedora. Haverá uma nova eleição para a presidência do clube, com o mesmo número e tipos de sócios, e as mesmas chapas da eleição anterior. Uma consulta feita pela chapa II mostrou que os sócios patrimoniais não mudarão seus votos, e que pode contar com os votos dos sócios contribuintes da última eleição. Assim, para que vença, será necessária uma campanha junto aos sócios contribuintes com o objetivo de que mudem seus votos para a chapa II.
A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é
A) 449.
B) 753.
C) 866.
D) 941.
E) 1 091.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Inequação do 1º Grau
- Álgebra (Manipulação de Variáveis)
- Média Ponderada (Cálculo de Pontuação com Pesos)
Tema/Objetivo Geral: Modelagem de uma situação-problema através de uma inequação para encontrar o valor mínimo que satisfaz uma condição de vitória.
Nível da Questão: Difícil.
- Detalhe do nível: A questão é considerada difícil porque exige uma interpretação cuidadosa de um cenário complexo, com múltiplos dados, e a sua correta tradução para uma única inequação algébrica. O maior desafio é montar a expressão que representa a mudança de votos e seu impacto duplo (um lado perde, o outro ganha).
Gabarito: Alternativa B.
- A alternativa está correta porque, para que a Chapa II vença, sua pontuação final ponderada deve ser estritamente maior que a da Chapa I. A resolução da inequação mostra que é preciso que mais de 752,5 sócios mudem de voto, sendo 753 o menor número inteiro que satisfaz essa condição.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“A menor quantidade de sócios contribuintes que precisam trocar seu voto da chapa I para a chapa II para que esta seja vencedora é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para descobrirmos o número mínimo de sócios contribuintes que, ao deixarem de votar na Chapa I e passarem a votar na Chapa II, garantem a vitória da Chapa II.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar uma inequação onde a pontuação final da Chapa II seja maior que a pontuação final da Chapa I e resolver para encontrar o menor valor inteiro que torna essa condição verdadeira.
1.4 Pergunta de Atenção
Você notou que, quando um sócio contribuinte troca de voto, a Chapa I perde pontos e a Chapa II ganha pontos ao mesmo tempo? O efeito dessa troca é dobrado!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos entender os seguintes conceitos:
- Voto Ponderado: É quando diferentes tipos de votos têm valores (ou “pesos”) diferentes. A pontuação final não é a simples contagem de votos, mas a soma dos votos multiplicados por seus respectivos pesos.
- Fórmula: Pontuação = (Votos Tipo A * Peso A) + (Votos Tipo B * Peso B)
- Inequação do 1º Grau: É uma sentença matemática que usa sinais de desigualdade (>, <, ≥, ≤) em vez do sinal de igual. Ela é usada para encontrar um conjunto de valores que satisfaz uma condição, como “ser maior que” ou “ser no mínimo”.
- Exemplo do cotidiano: Para ser aprovado, sua nota final (x) precisa ser maior ou igual a 7. A inequação é x ≥ 7.
- Variável: Uma letra (geralmente x) que usamos para representar um valor desconhecido que queremos encontrar. Aqui, x será o número de sócios que trocam de voto.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a história: temos a Equipe I e a Equipe II em uma competição. A Equipe II perdeu a última partida e quer virar o jogo na próxima. Os torcedores “patrimoniais” são fiéis e não mudam de time, mas os “contribuintes” podem ser convencidos. Cada vez que um torcedor contribuinte troca da Equipe I para a Equipe II, a Equipe I perde 0,4 ponto e a Equipe II ganha 0,4 ponto. Nossa missão é descobrir quantos torcedores, no mínimo, a Equipe II precisa “roubar” da Equipe I para garantir a vitória.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Definir uma variável x para representar o número de sócios contribuintes que trocam de voto.
- Escrever as novas expressões para a quantidade de votos de contribuintes de cada chapa após a mudança.
- Montar a expressão completa da pontuação final da Chapa I.
- Montar a expressão completa da pontuação final da Chapa II.
- Construir a inequação: Pontuação da Chapa II > Pontuação da Chapa I.
- Resolver a inequação para x.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a estratégia passo a passo.
1. Definir a variável e as novas quantidades de votos:
- x = número de sócios contribuintes que trocam de voto.
- Votos de contribuintes da Chapa I (final): Eram 4.300, perderam x → 4.300 – x
- Votos de contribuintes da Chapa II (final): Eram 2.120, ganharam x → 2.120 + x
2. Montar as expressões de pontuação final:
- Pontuação Final da Chapa I:
Pontos I = (Votos Patrimoniais * Peso) + (Votos Contribuintes * Peso)
Pontos I = (850 * 0,6) + ((4.300 – x) * 0,4) - Pontuação Final da Chapa II:
Pontos II = (Votos Patrimoniais * Peso) + (Votos Contribuintes * Peso)
Pontos II = (1.300 * 0,6) + ((2.120 + x) * 0,4)
3. Construir e resolver a inequação (Pontos II > Pontos I):
(1.300 * 0,6) + ((2.120 + x) * 0,4) > (850 * 0,6) + ((4.300 – x) * 0,4)
Primeiro, calculamos as multiplicações fixas:
780 + (2.120 * 0,4) + (x * 0,4) > 510 + (4.300 * 0,4) – (x * 0,4)
780 + 848 + 0,4x > 510 + 1.720 – 0,4x
Agora, somamos os termos numéricos de cada lado:
1.628 + 0,4x > 2.230 – 0,4x
Passamos todos os termos com x para a esquerda e os números para a direita:
0,4x + 0,4x > 2.230 – 1.628
0,8x > 602
Isolamos o x:
x > 602 / 0,8
x > 752,5
4.2 Verificação Intermediária
O resultado x > 752,5 significa que o número de sócios que trocam de voto deve ser estritamente maior que 752,5. Como não podemos ter “meio sócio”, o menor número inteiro que satisfaz essa condição é 753.
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum é esquecer o efeito duplo da troca de votos. Alguém poderia apenas somar x à Chapa II e esquecer de subtrair x da Chapa I, o que levaria a um resultado completamente diferente. Outra armadilha é, ao chegar em x > 752,5, responder 752 por arredondamento, mas 752 não é maior que 752,5, então não garantiria a vitória.
4.4 fechamento e expectativa
Nossos cálculos mostram que são necessários, no mínimo, 753 sócios contribuintes para virar o jogo. Agora, vamos procurar esse valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
a) 449
b) 753
c) 866
d) 941
e) 1.091
5.2 Justificativa Individual
- a) 449 – 🔴 Incorreta. Este número é insuficiente para causar a virada.
- b) 753 – 🟢 Correta. É o menor número inteiro que é maior que 752,5, satisfazendo a condição para a vitória da Chapa II.
- c) 866 – 🔴 Incorreta. Embora 866 sócios garantam a vitória, não é a menor quantidade necessária.
- d) 941 – 🔴 Incorreta. Assim como a anterior, é uma quantidade suficiente para vencer, mas não é a mínima exigida.
- e) 1.091 – 🔴 Incorreta. Também é um valor que garante a vitória, mas está longe de ser o mínimo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi obtida modelando a disputa eleitoral como uma inequação. Definimos x como a quantidade de eleitores que mudam de lado e criamos expressões para as novas pontuações de cada chapa. Ao resolver a inequação Pontos II > Pontos I, encontramos o valor mínimo de x para garantir a vitória.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), 753.
6.3 Resumo Final para Revisão
🔍 Em problemas de “virada” onde um item troca de grupo, lembre-se do efeito duplo: ele soma em um lado e subtrai do outro. A ferramenta matemática para “ser maior que” é a inequação.
