Com base na Lei Universal da Gravitação, proposta por Isaac Newton, o peso de um objeto na superfície de um planeta aproximadamente esférico é diretamente proporcional à massa do planeta e inversamente proporcional ao quadrado do raio desse planeta. A massa do planeta Mercúrio é, aproximadamente, 1/20 da massa da Terra e seu raio é, aproximadamente, 2/5 do raio da Terra. Considere um objeto que, na superfície da Terra, tenha peso P. O peso desse objeto na superfície de Mercúrio será igual a
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Física: Lei da Gravitação Universal (Conceitos de Proporcionalidade)
- Matemática: Proporcionalidade Direta e Inversa, Operações com Frações, Potenciação
Tema/Objetivo Geral: Aplicação da relação de proporcionalidade da força gravitacional para comparar o peso de um objeto em diferentes corpos celestes.
Nível da Questão
Médio – A questão é de nível médio porque não exige a aplicação da fórmula completa da Gravitação Universal, mas sim o entendimento conceitual de proporcionalidade direta e inversa (ao quadrado). O desafio está na manipulação algébrica das frações e potências para chegar à resposta correta.
Gabarito
Alternativa A). A resposta correta é 5P/16, pois a redução da massa de Mercúrio diminui o peso, mas a redução de seu raio aumenta o peso por um fator quadrático, e a combinação desses efeitos resulta em 5/16 do peso na Terra.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“O peso desse objeto na superfície de Mercúrio será igual a…”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema pede para calcularmos o novo peso de um objeto na superfície de Mercúrio e expressar esse valor como uma fração do seu peso original na Terra (P).
1.3 Objetivo Cristalino
Nossa meta é construir uma fórmula matemática baseada nas proporcionalidades dadas, substituir os valores de Mercúrio em relação à Terra e encontrar a razão entre o peso em Mercúrio e o peso na Terra.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou que a relação com o raio é “inversamente proporcional ao quadrado“? Esquecer de elevar ao quadrado é a armadilha mais comum nesse tipo de problema!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Proporcionalidade na Lei da Gravitação: O enunciado nos dá uma versão simplificada da lei. Vamos traduzi-la:
- “Diretamente proporcional à massa do planeta (M)”: Isso significa que se a massa do planeta dobra, o peso do objeto também dobra. Na fórmula, o M fica no numerador.
- “Inversamente proporcional ao quadrado do raio do planeta (R)”: Isso significa que se o raio do planeta dobra, o peso do objeto é dividido por 2², ou seja, por 4. Na fórmula, o R² fica no denominador.
- Fórmula da Proporcionalidade: Juntando as duas informações, podemos escrever uma relação matemática. Se P é o peso, M é a massa do planeta e R é o raio:
- P ∝ M / R²
- Isso pode ser escrito como uma equação usando uma constante (k): P = k ⋅ (M / R²). Essa constante k depende de outras coisas que não mudam no problema (como a massa do objeto e a constante gravitacional G), então podemos mantê-la como ‘k’.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que o peso de um objeto em um planeta é uma “pontuação”. Essa pontuação é calculada dividindo a massa do planeta pelo seu raio ao quadrado. Nós sabemos a pontuação na Terra (que chamamos de P). Agora, vamos para Mercúrio, onde as “regras” são diferentes: a massa é bem menor (1/20 da Terra) e o raio também é menor (2/5 do da Terra). Nossa tarefa é calcular a nova “pontuação” em Mercúrio usando as regras de lá.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano será:
- Escrever a equação de proporcionalidade para o peso na Terra (P).
- Escrever a mesma equação para o peso em Mercúrio (P_merc), usando as informações dadas.
- Substituir a massa e o raio de Mercúrio por seus equivalentes em termos da Terra na segunda equação.
- Rearranjar a equação de Mercúrio para que a expressão do peso na Terra (P) apareça, permitindo a comparação direta.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos definir nossas variáveis:
- P_T = Peso na Terra = P
- M_T e R_T = Massa e Raio da Terra
- P_M = Peso em Mercúrio (o que queremos encontrar)
- M_M e R_M = Massa e Raio de Mercúrio
Com base na nossa fórmula de proporcionalidade:
- Para a Terra: P = k ⋅ (M_T / R_T²)
O enunciado nos dá as relações para Mercúrio:
- M_M = M_T / 20
- R_M = (2/5) ⋅ R_T
Agora, vamos escrever a equação para o peso em Mercúrio e substituir esses valores:
- P_M = k ⋅ (M_M / R_M²)
- P_M = k ⋅ [ (M_T / 20) / ( (2/5)⋅R_T )² ]
Cuidado com a potência no denominador! Elevamos tanto a fração quanto R_T ao quadrado:
- ( (2/5)⋅R_T )² = (2/5)² ⋅ R_T² = (4/25) ⋅ R_T²
Substituindo de volta na equação de P_M:
- P_M = k ⋅ [ (M_T / 20) / ( (4/25)⋅R_T² ) ]
Temos uma divisão de frações. Para resolver, multiplicamos a de cima pelo inverso da de baixo:
- P_M = k ⋅ (M_T / 20) ⋅ (25 / (4⋅R_T²))
Vamos reorganizar os termos, juntando os números e as variáveis:
- P_M = (25 / (20 ⋅ 4)) ⋅ [ k ⋅ (M_T / R_T²) ]
Perceba que a expressão dentro dos colchetes [ k ⋅ (M_T / R_T²) ] é exatamente a fórmula do peso na Terra, ou seja, P.
- P_M = (25 / 80) ⋅ P
Agora, só precisamos simplificar a fração 25/80. Podemos dividir o numerador e o denominador por 5:
- P_M = (5 / 16) ⋅ P
4.2 Verificação Intermediária
Encontramos que o peso em Mercúrio é 5/16 do peso na Terra. Isso significa que um objeto é mais leve em Mercúrio. A massa de Mercúrio é muito menor (fator 1/20), o que diminui o peso. Seu raio menor (fator 2/5) aumenta o peso, pois o objeto está mais perto do centro. O efeito combinado resulta em um peso menor (5/16 é menor que 1), o que é fisicamente coerente.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha é não elevar ao quadrado o fator do raio (2/5). Se você não o fizesse, o cálculo seria (1/20) / (2/5) = 1/8, o que levaria à alternativa D. Outro erro é inverter a fração do raio ou esquecer que ela está no denominador.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo detalhado nos levou à resposta 5P/16. Agora, vamos conferir se essa opção está disponível nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 5P/16
B) 5P/2
C) 25P/4
D) P/8
E) P/20
5.2 Justificativa Individual
- (🟢) A) 5P/16: Correto. Este é o valor exato que encontramos ao aplicar corretamente as proporcionalidades de massa e do quadrado do raio.
- (🔴) B) 5P/2: Incorreto. Um erro grave de cálculo na manipulação das frações poderia levar a este resultado.
- (🔴) C) 25P/4: Incorreto. Este seria o resultado se ignorássemos a mudança na massa e considerássemos apenas a mudança no raio. O fator 25/4 vem de 1 / (2/5)².
- (🔴) D) P/8: Incorreto. Este é o resultado da “armadilha” de esquecer de elevar o fator do raio (2/5) ao quadrado.
- (🔴) E) P/20: Incorreto. Este seria o peso se apenas a massa mudasse para 1/20 da original, e o raio permanecesse o mesmo que o da Terra.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O peso em Mercúrio foi determinado estabelecendo uma relação de proporcionalidade com a massa (numerador) e o quadrado do raio (denominador). Substituímos os dados de Mercúrio em termos da Terra na equação, o que nos permitiu isolar a expressão do peso na Terra (P) e encontrar o fator de conversão (5/16).
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a A) 5P/16.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se: em problemas de gravitação, a distância (raio) tem um impacto quadrático e inverso. Uma pequena mudança no raio provoca uma grande mudança no peso
