Para incentivar a reciclagem e evitar lixo espalhado durante as festas de final de ano, a prefeitura de uma cidade fez uma campanha com sorteio de prêmios. Para participar do sorteio, era necessário entregar cinco latinhas de alumínio ou três garrafas de vidro vazias para ter direito a um cupom. Um grupo de estudantes de uma escola trocou suas latinhas e garrafas de vidro e com isso adquiriram dez cupons; outro grupo trocou o triplo das garrafas e a mesma quantia de latinhas do primeiro grupo, conseguindo vinte cupons.
Quantas garrafas de vidro e quantas latinhas, respectivamente, o segundo grupo trocou?
A) 5 e 5
B) 15 e 5
C) 15 e 25
D) 45 e 25
E) 45 e 75
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Sistemas de Equações Lineares
- Raciocínio Lógico
- Interpretação de Problemas
- Tema/Objetivo Geral: Montar e resolver um sistema de duas equações com duas incógnitas a partir de um problema contextualizado.
- Nível da Questão
- Médio. A questão exige a tradução de um cenário em um modelo matemático com múltiplas variáveis. A dificuldade não está na resolução do sistema em si, que é relativamente simples, mas na sua correta montagem a partir da interpretação do texto.
- Gabarito
- D) 45 e 25. Esta alternativa está correta porque 45 garrafas (15 cupons) e 25 latinhas (5 cupons) totalizam 20 cupons para o segundo grupo, e as quantidades do primeiro grupo (15 garrafas e 25 latinhas) geram os 10 cupons descritos.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é descobrir a quantidade exata de garrafas e latinhas que o segundo grupo trocou. Temos duas pistas principais: a troca do primeiro grupo e a comparação de sua troca com a do segundo grupo.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que estamos investigando duas cestas de compras.
- Cesta 1 (Grupo 1): Contém X maçãs e Y bananas. O custo total foi de R$ 10.
- Cesta 2 (Grupo 2): Contém as mesmas X maçãs, mas o triplo de bananas (3Y). O custo total foi de R$ 20.
Nossa tarefa é usar a diferença entre as duas cestas para descobrir o preço de cada fruta e, finalmente, dizer quantas maçãs e bananas estavam na Cesta 2.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Focaremos na diferença entre os grupos, pois ela é a nossa pista mais reveladora.
- Isolar a Mudança: Identificar o que mudou do Grupo 1 para o Grupo 2 e qual foi o efeito dessa mudança no número de cupons.
- Decifrar o Valor das Garrafas: Usar essa informação para descobrir quantos cupons as garrafas do primeiro grupo renderam.
- Decifrar o Valor das Latinhas: Com a informação das garrafas, descobrir quantos cupons as latinhas do primeiro grupo renderam.
- Traduzir Cupons para Itens: Converter os cupons de volta para o número de garrafas e latinhas de cada grupo.
- Responder à Pergunta Final: Apresentar a quantidade de itens do segundo grupo.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta formal é um Sistema de Equações, mas vamos focar na lógica dedutiva que o alimenta. Vamos definir nossas variáveis de uma forma mais inteligente: em vez de número de itens, vamos usar o número de cupons gerados por eles.
🕵️♂️ Dossiê: O Enigma dos Cupons
- Incógnita L: Número de cupons que o Grupo 1 conseguiu com Latinhas.
- Incógnita G: Número de cupons que o Grupo 1 conseguiu com Garrafas.
- Equação 1 (A partir do Grupo 1): O total de cupons foi 10.
L + G = 10 - Equação 2 (A partir do Grupo 2): A mesma quantia de latinhas (L), mas o triplo de garrafas (o que rende 3G cupons). O total foi 20.
L + 3G = 20
Agora temos um sistema de equações simples e elegante que representa o coração do mistério!
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano, resolvendo o sistema com pura lógica.
- 1. Isolando a Mudança:
- Compare as duas equações: L + G = 10 e L + 3G = 20.
- A única coisa que mudou foi a quantidade de cupons de garrafa, que aumentou em 2G (de G para 3G).
- Essa mudança fez o total de cupons aumentar em 10 (de 10 para 20).
- A Pista Decisiva: 2G = 10.
- 2. Decifrando o Valor das Garrafas (do Grupo 1):
- Se 2G = 10, então G = 5.
- Conclusão: O Grupo 1 obteve 5 cupons com garrafas.
- 3. Decifrando o Valor das Latinhas (do Grupo 1):
- Sabemos que L + G = 10. Se G = 5, então L = 5.
- Conclusão: O Grupo 1 obteve 5 cupons com latinhas.
- 4. Traduzindo Cupons para Itens:
- Grupo 1:
- Garrafas: 5 cupons × 3 garrafas/cupom = 15 garrafas.
- Latinhas: 5 cupons × 5 latinhas/cupom = 25 latinhas.
- Grupo 2:
- Garrafas: O triplo do Grupo 1 = 3 × 15 = 45 garrafas.
- Latinhas: A mesma quantia do Grupo 1 = 25 latinhas.
- Grupo 1:
- 5. Resposta Final: O segundo grupo trocou 45 garrafas e 25 latinhas.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha aqui é a confusão entre o que é pedido e o que é calculado no meio do caminho. É muito fácil calcular as quantidades do primeiro grupo (15 garrafas e 25 latinhas) e procurar isso nas alternativas. A alternativa C (15 e 25) é uma isca perfeita para quem não relê o comando final da questão, que pede as quantidades do segundo grupo.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Analisando a diferença entre os dois grupos, descobrimos que o primeiro grupo trocou 15 garrafas e 25 latinhas. A partir disso, calculamos as quantidades do segundo grupo como sendo 45 garrafas (o triplo) e 25 latinhas (a mesma quantia).
- Expectativa: A alternativa correta deve ser 45 e 25, nesta ordem.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 5 e 5
- A “Narrativa do Erro”: O candidato encontrou o número de cupons (5 de latinhas e 5 de garrafas) para o primeiro grupo, mas se esqueceu de converter para o número de itens.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Cupons com Itens.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 15 e 5
- A “Narrativa do Erro”: O candidato encontrou o número de garrafas do primeiro grupo (15) e o número de cupons de latinhas (5).
- O “Diagnóstico do Erro”: Mistura de Unidades (Itens e Cupons).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 15 e 25
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou corretamente as quantidades do primeiro grupo (15 garrafas e 25 latinhas), mas não respondeu à pergunta sobre o segundo grupo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Responder à Pergunta Errada. A armadilha clássica.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 45 e 25
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente à nossa investigação: 45 garrafas (triplo de 15) e 25 latinhas (mesma quantia) para o segundo grupo.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- E) 45 e 75
- A “Narrativa do Erro”: O candidato calculou corretamente as garrafas do segundo grupo (45), mas depois triplicou as latinhas também (3 x 25 = 75), ignorando a parte do enunciado que dizia “a mesma quantia de latinhas”.
- O “Diagnóstico do Erro”: Aplicação Incorreta da Regra (Generalização Excessiva).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa D, e a chave da investigação foi usar a diferença de resultados entre os dois grupos para isolar e descobrir o valor de uma das variáveis.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “Para resolver o sistema, foque na mudança: a diferença no resultado (cupons) foi causada pela única diferença na ação (garrafas).”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A técnica de “isolar uma variável observando o efeito de sua mudança” é a base do Método Científico Experimental. Em um laboratório, para descobrir o efeito de um novo fertilizante (nossas garrafas extras) no crescimento de uma planta, um cientista mantém dois grupos de plantas sob condições idênticas de luz, água e solo (nossas latinhas constantes). A única diferença é que um grupo recebe o fertilizante e o outro não. A diferença no crescimento entre os dois grupos pode ser atribuída diretamente ao fertilizante.
Você não apenas resolveu um sistema de equações, você aplicou a lógica fundamental de todo experimento científico controlado!
