Um modelo de automóvel tem seu valor depreciado em função do tempo de uso segundo a função f(t) = b.at, com t em ano. Essa função está representada no gráfico.
Qual será o valor desse automóvel, em real, ao completar dois anos de uso?
A) 48 000,00
B) 48 114,00
C) 48 600,00
D) 48 870,00
E) 49 683,00
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função Exponencial
- Interpretação de Gráficos
- Porcentagem e Fatores de Multiplicação
- Tema/Objetivo Geral: Determinar os parâmetros de uma função exponencial a partir de dados gráficos e utilizá-la para fazer uma predição futura.
- Nível da Questão
- Médio. A questão exige mais do que simplesmente aplicar uma fórmula. É preciso primeiro construir a função, “caçando” os valores dos parâmetros b (valor inicial) e a (fator de depreciação) a partir do gráfico. Esse processo de modelagem em duas etapas eleva a complexidade.
- Gabarito
- C) 48 600,00. Esta alternativa está correta, pois é o resultado da aplicação de uma taxa de depreciação anual de 10% de forma composta, partindo do valor inicial de R$ 60.000,00.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é atuar como um perito avaliador. Temos o “DNA” da desvalorização de um carro, a fórmula f(t) = b.at, e um gráfico com algumas pistas sobre seu valor. Precisamos decifrar completamente esse código para prever o valor exato do carro daqui a dois anos.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense no valor do carro como uma bateria de celular que se desgasta. A função exponencial nos diz que ela não perde uma quantidade fixa de carga por hora, mas sim uma porcentagem da carga restante. Nossa tarefa é descobrir duas coisas: qual era a carga inicial (o b) e qual a porcentagem de desgaste por ano (o a). Com isso em mãos, podemos calcular a carga exata após 2 anos.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Interrogar o Gráfico: Extrair as informações cruciais que o gráfico nos fornece, ou seja, os pontos conhecidos da nossa função.
- Descobrir o Valor Inicial (b): Usar o ponto do “ano zero” para encontrar o valor do carro novo.
- Calcular o Fator de Depreciação (a): Usar os dados do primeiro ano para descobrir a “taxa de desvalorização” anual.
- Montar a Fórmula Completa: Escrever a função com os valores de a e b que descobrimos.
- Prever o Futuro: Substituir t=2 na nossa fórmula para encontrar o valor do carro no segundo ano.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal é a Função Exponencial f(t) = b.at. Vamos abrir nosso dossiê para entender o papel de cada “personagem” dessa fórmula.
🕵️♂️ Dossiê: O Código da Depreciação Exponencial
- f(t) ou Valor do automóvel: A nossa vítima. É o valor que estamos tentando descobrir.
- b (O Ponto de Partida): É o valor inicial, o preço do carro quando ele era 0 km. Em qualquer f(t) = b.at, b é sempre o valor quando t=0, pois a0 = 1.
- a (O Fator de Mudança): É o fator multiplicativo anual. Ele nos diz por quanto o valor do carro é multiplicado a cada ano.
- Se a > 1, o valor aumenta (valorização).
- Se 0 < a < 1, o valor diminui (depreciação).
- Importante: Se um carro perde 10% do valor, ele retém 90%. Portanto, o coeficiente a será 0,90.
- t (O Tempo): É o nosso relógio, contando os anos de uso.
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Vamos executar nosso plano de ataque.
- 1. Interrogando o Gráfico:
- No tempo t=0, o valor é R$ 60.000. Temos o ponto (0, 60000).
- No tempo t=1, o valor é R$ 54.000. Temos o ponto (1, 54000).
- 2. Descobrindo o Valor Inicial (b):
- Como vimos no dossiê, b é o valor quando t=0.
- O gráfico nos diz que em t=0, o valor é 60.000.
- Portanto, b = 60.000.
- 3. Calculando o Fator de Depreciação (a):
- Agora usamos o ponto (1, 54000) e o valor de b que já encontramos na nossa função:
f(1) = 60.000 * a¹ = 54.000 - Isolando a:
a = 54.000 / 60.000
a = 54 / 60 (simplificando por 6) -> a = 9 / 10 = 0,9. - Deciframos o código! O fator é 0,9, o que significa que o carro perde 10% do seu valor a cada ano, mantendo 90%.
- Agora usamos o ponto (1, 54000) e o valor de b que já encontramos na nossa função:
- 4. Montando a Fórmula Completa:
- Nossa função decifrada é: f(t) = 60.000 * (0,9)t.
- 5. Prevendo o Futuro (t=2):
- f(2) = 60.000 * (0,9)²
- f(2) = 60.000 * 0,81
- f(2) = 48.600.
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha mais perigosa em problemas com gráficos como este é pensar que a desvalorização é linear. O raciocínio falho seria: “O carro perdeu R$ 6.000 no primeiro ano, então vai perder mais R$ 6.000 no segundo ano”. Isso levaria a 54.000 – 6.000 = 48.000 (Alternativa A). Mas a função é exponencial, o que significa que a perda é de 10% a cada ano. No segundo ano, a perda é de 10% de 54.000, ou seja R$ 5.400.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Usamos o gráfico para encontrar o valor inicial b = 60.000 e a taxa de retenção anual a = 0,9. Com a função f(t) = 60.000 * (0,9)^t montada, calculamos o valor para t=2.
- Expectativa: O valor exato que procuramos é R$ 48.600,00.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 48 000,00
- A “Narrativa do Erro”: O candidato caiu na armadilha de assumir uma depreciação linear, subtraindo R$ 6.000 a cada ano.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir Modelo Exponencial com Modelo Linear.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) 48 114,00
- A “Narrativa do Erro”: O valor não corresponde a um erro de lógica claro, sugerindo um erro de cálculo ao multiplicar 60.000 por 0,81.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 48 600,00
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente ao nosso cálculo 60.000 * 0,81.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- D) 48 870,00
- A “Narrativa do Erro”: Semelhante à alternativa B, é um valor que não se encaixa em um erro conceitual óbvio, indicando uma falha na aritmética.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 49 683,00
- A “Narrativa do Erro”: O valor pode surgir de um erro ao calcular o fator a, talvez uma divisão invertida ou um erro de arredondamento.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro no Cálculo do Parâmetro.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa C, pois a depreciação exponencial aplica uma perda percentual sobre o valor mais recente, e não uma perda de valor fixa.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “Desvalorização exponencial: o ‘desconto’ de cada ano é sempre em cima do preço da ‘etiqueta’ atual, não da original.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A mesma função de decaimento exponencial, f(t) = b.a^t, é a base do método de datação por Carbono-14, usado por arqueólogos para determinar a idade de fósseis. b é a quantidade inicial de Carbono-14 no organismo vivo, a é o fator de decaimento (relacionado à meia-vida de 5.730 anos), e t é o tempo que passou. Ao medir a quantidade de Carbono-14 que resta em um fóssil, os cientistas usam essa exata equação para calcular sua idade. Você não apenas avaliou um carro, você usou a mesma ferramenta que data múmias egípcias.
