“Veja os algarismos: não há dois que façam o mesmo ofício; 4 é 4, e 7 é 7. E admire a beleza com que um 4 e um 7 formam esta coisa que se exprime por 11. Agora dobre 11 e terá 22; multiplique por igual número, dá 484, e assim por diante.”
ASSIS, M. Dom Casmurro. Olinda: Livro Rápido, 2010.
No trecho anterior, o autor escolheu os algarismos 4 e 7 e realizou corretamente algumas operações, obtendo ao final o número 484.
A partir do referido trecho, um professor de matemática solicitou aos seus alunos que escolhessem outros dois algarismos e realizassem as mesmas operações.
Em seguida, questionou sobre o número que foi obtido com esse procedimento e recebeu cinco respostas diferentes.
Quais alunos apresentaram respostas corretas, obedecendo ao mesmo princípio utilizado nas operações matemáticas do autor?
A) 3 e 5
B) 2, 3 e 5
C) 1, 3, 4 e 5
D) 1 e 2
E) 1 e 4
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Interpretação de Texto
- Operações Aritméticas Básicas (Soma, Multiplicação)
- Potenciação e Radiciação (Quadrados Perfeitos)
- Propriedades dos Números (Pares e Ímpares)
- Tema/Objetivo Geral: Decodificar um algoritmo matemático descrito em uma linguagem literária e verificar quais resultados numéricos são consistentes com esse algoritmo.
- Nível da Questão
- Médio. Embora os cálculos sejam simples, a questão exige uma camada de interpretação de texto para traduzir a “receita” de Machado de Assis em passos matemáticos. A necessidade de identificar uma propriedade-chave nos números resultantes (ser o quadrado de um número par) eleva o nível para além de uma simples execução de contas.
- Gabarito
- A) 3 e 5. Esta alternativa está correta porque o procedimento descrito sempre resulta em um número que é o quadrado de um número par, e apenas os números dos alunos 3 (324) e 5 (784) satisfazem essa condição.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A missão é atuar como um perito. Machado de Assis nos deu uma “receita de bolo” matemática. Nós precisamos primeiro entender essa receita e depois verificar quais dos “bolos” feitos pelos alunos (os números na tabela) seguiram a receita corretamente.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Imagine que o trecho do livro é uma receita culinária: “Pegue dois ingredientes, some-os, dobre a mistura e depois asse-a ao quadrado”. Os números na tabela são os pratos finais. Nossa tarefa é provar cada prato e dizer: “Este aqui seguiu a receita. Este outro, não”.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Decifrar a Receita: Vamos traduzir as palavras de Dom Casmurro em um passo a passo matemático claro.
- Identificar a “Assinatura” do Resultado: Vamos descobrir qual é a característica fundamental que todo número gerado por essa receita precisa ter. Este será o nosso “perfil do culpado”.
- Conduzir o Reconhecimento: Vamos testar cada número da tabela contra esse perfil, um por um, para ver quais correspondem.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
A ferramenta principal é a tradução de linguagem comum para linguagem matemática, criando um algoritmo. Vamos organizar isso em um dossiê.
🕵️♂️ Dossiê: A Receita de Dom Casmurro
- Ingredientes: Dois algarismos quaisquer. Vamos chamá-los de x e y.
-
Passo 1: “…com que um 4 e um 7 formam esta coisa que se exprime por 11.”
- Operação: Soma. Resultado_1 = x + y.
-
Passo 2: “Agora dobre 11 e terá 22…”
- Operação: Multiplicação por 2. Resultado_2 = 2 * Resultado_1.
-
Passo 3: “…multiplique por igual número, dá 484…”
(ou seja, 22 x 22).
- Operação: Elevar ao quadrado. Resultado_Final = (Resultado_2)².
- A Fórmula Mestra (Generalizando a Receita):
Juntando tudo, a fórmula para o número final é: Resultado_Final = (2 * (x + y))²
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora vem a parte crucial da investigação. Qual é a “assinatura” deixada por essa fórmula?
Analisando a Fórmula Mestra: (2 * (x + y))²
- Qualquer que seja a soma (x+y), ao ser multiplicada por 2, ela se torna obrigatoriamente um número PAR.
- Portanto, a fórmula sempre calcula o quadrado de um número par.
Essa é a nossa pista definitiva! O número final precisa ser um quadrado perfeito, e sua raiz quadrada precisa ser um número par. Vamos usar essa dupla verificação.
- Aluno 1: 121
- É um quadrado perfeito? Sim, √121 = 11.
- A raiz (11) é par? Não, é ímpar. ❌ FALHOU.
- Aluno 2: 242
- É um quadrado perfeito? Não. (Sabemos que 15² = 225 e 16² = 256. 242 está entre eles). ❌ FALHOU.
- Aluno 3: 324
- É um quadrado perfeito? Sim, √324 = 18.
- A raiz (18) é par? Sim. ✔️ APROVADO. (Ele poderia ter usado x=1 e y=8, por exemplo, pois 1+8=9, e 2*9=18).
- Aluno 4: 625
- É um quadrado perfeito? Sim, √625 = 25.
- A raiz (25) é par? Não, é ímpar. ❌ FALHOU.
- Aluno 5: 784
- É um quadrado perfeito? Sim, √784 = 28.
- A raiz (28) é par? Sim. ✔️ APROVADO. (Ele poderia ter usado x=5 e y=9, por exemplo, pois 5+9=14, e 2*14=28).
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
CUIDADO! A armadilha aqui é focar apenas em uma parte da propriedade. Um aluno pode perceber que o resultado deve ser um quadrado perfeito e, por isso, marcaria os alunos 1, 3, 4 e 5. Outro poderia notar que o resultado é sempre múltiplo de 4 e testar a divisibilidade. A chave do detetive mestre é combinar as duas pistas: ser o quadrado de um número PAR, que é a condição mais forte e específica de todas.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Traduzimos o procedimento do texto para a fórmula (2*(x+y))². Deduzimos que qualquer resultado dessa fórmula deve ser o quadrado de um número par. Aplicamos este teste a todos os cinco alunos.
- Expectativa: A alternativa correta deve conter exclusivamente os alunos 3 e 5.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) 3 e 5
- Análise de Correspondência: Esta alternativa lista exatamente os dois alunos cujos números passaram em nosso rigoroso teste de verificação. Corresponde perfeitamente à nossa conclusão.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- B) 2, 3 e 5
- A “Narrativa do Erro”: O candidato inclui o aluno 2, cujo número (242) nem sequer é um quadrado perfeito.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inclusão de Caso Inválido.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) 1, 3, 4 e 5
- A “Narrativa do Erro”: Este é o resultado de cair na armadilha de verificar apenas se o número é um quadrado perfeito, ignorando a condição de a raiz ser par.
- O “Diagnóstico do Erro”: Análise Incompleta (Reducionismo). O candidato aplicou apenas o primeiro dos dois filtros necessários.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) 1 e 2
- A “Narrativa do Erro”: Esta combinação não tem uma lógica clara, indicando uma falha completa na interpretação do procedimento ou um erro de cálculo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Tema.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- E) 1 e 4
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode ter selecionado os dois casos que são quadrados de números ímpares (121=11² e 625=25²), talvez por uma interpretação invertida da regra.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de Lógica.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: Confirmamos que a resposta correta é a alternativa A, pois a “receita” de Machado de Assis sempre gera um número que é o quadrado de um número par, uma característica que apenas 324 e 784 possuem.
Resumo-flash (A Imagem Mental): “A receita do Casmurro? O resultado é sempre um PAR ao quadrado.”
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): A habilidade de extrair propriedades numéricas de um processo (como “o resultado é sempre o quadrado de um par”) é a base da Criptografia.
A segurança de todas as suas senhas, transações bancárias e mensagens online depende de algoritmos que geram números com propriedades muito específicas e difíceis de “engenharia reversa”. Por exemplo, o sistema RSA, um dos mais famosos, baseia-se na extrema dificuldade de descobrir os fatores primos de um número muito grande. Assim, ao resolver esta questão, você praticou o mesmo tipo de pensamento fundamental que protege o mundo digital.
