A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra R$ 10,00 por cada serviço realizado e atende 200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês.
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de
A) R$ 10,00.
B) R$ 10,50.
C) R$ 11,00.
D) R$ 15,00.
E) R$ 20,00.
✍ Resolução Em Texto
- Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Função Quadrática (Função do 2º Grau)
- Modelagem Matemática
- Cálculo do Vértice da Parábola (Máximos e Mínimos)
- Tema/Objetivo Geral: Modelar uma situação real de otimização de receita usando uma função quadrática e determinar o ponto de máximo dessa função.
- Nível da Questão:
- Médio. A questão exige que o candidato modele a situação, o que é um passo de abstração que vai além da simples aplicação de fórmulas. É preciso construir a função do segundo grau a partir do texto antes de poder calcular seu ponto máximo. A interpretação correta do resultado do Xv também é um ponto crítico.
- Gabarito:
- D) R$ 15,00. A alternativa está correta. A modelagem matemática da situação revela uma função do segundo grau, e R$ 15,00 é o preço que garante a renda máxima.
1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)
Decodificação do Objetivo: A tarefa central é determinar o preço de venda exato que resultará na maior renda mensal possível para o cabeleireiro, levando em conta que o preço influencia diretamente o número de clientes.
Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense nisso como tentar vender limonada. Se você vende muito barato, terá muitos clientes, mas pouco lucro. Se vender muito caro, terá um lucro alto por copo, mas quase nenhum cliente. O verdadeiro desafio aqui é encontrar o “preço de ouro”, o ponto de equilíbrio perfeito onde a combinação de preço e número de clientes gera a maior renda total.
Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação):
- Estabelecer a Equação da Renda: A renda é Preço x Nº de Clientes. Vamos criar expressões matemáticas para como o preço e o número de clientes mudam.
- Modelar a Função: Multiplicaremos as duas expressões para obter uma única função que descreva a renda.
- Identificar o Ponto Máximo: Reconheceremos que essa função é uma parábola e usaremos a ferramenta certa (X do Vértice) para encontrar o “aumento ideal”.
- Calcular o Preço Final: Usaremos o “aumento ideal” encontrado para calcular o novo preço do serviço.
2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)
Para este caso, a melhor forma de construir o raciocínio é através de um diálogo investigativo, montando a solução peça por peça.
Diálogo Mentor-Aluno (🕵️♂️ & 🧠):
- 🕵️♂️ Mentor: “Detetive, qual é a fórmula mais básica para calcular a renda?”
- 🧠 Aluno: “Simples: Renda = Preço do Serviço × Número de Clientes.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Perfeito. Agora, a situação muda. Se chamarmos de x o número de aumentos de R$1, como podemos escrever o novo Preço?”
- 🧠 Aluno: “Seria o preço original (10) mais x reais. Então, Preço = 10 + x.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Exato. E o novo Número de Clientes? Começamos com 200 e perdemos 10 para cada aumento x…”
- 🧠 Aluno: “A perda total será de 10 * x. Então, o número de clientes será 200 – 10x.”
- 🕵️♂️ Mentor: “Brilhante! Agora junte as duas partes na nossa fórmula original de Renda.”
- 🧠 Aluno: “Ok… Renda(x) = (10 + x) * (200 – 10x).”
- 🕵️♂️ Mentor: “Observe essa função. Se multiplicarmos os termos com x, o que acontece?”
- 🧠 Aluno: “O x multiplica o -10x, resultando em -10x². Ah! É uma função do segundo grau, uma parábola!”
- 🕵️♂️ Mentor: “Precisamente! E como o termo -10x² é negativo, essa parábola tem a ‘boca’ virada para baixo. Onde encontramos o ponto de ‘Renda Máxima’ em uma parábola assim?”
- 🧠 Aluno: “No ponto mais alto de todos: o vértice!”
- 🕵️♂️ Mentor: “Bingo. Nossa principal ferramenta de investigação será a fórmula do X do Vértice: Xv = -b / (2a). Ela nos dará o valor de x que maximiza a renda. Vamos aos cálculos.”
3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)
Agora, vamos aplicar as ferramentas e desvendar o mistério matemático.
Execução Sequencial:
- 1. Construindo a Função:
Renda(x) = (10 + x) * (200 – 10x)
Aplicando a propriedade distributiva:
Renda(x) = 2000 – 100x + 200x – 10x² - 2. Simplificando e Organizando:
Renda(x) = -10x² + 100x + 2000 - 3. Identificando os Coeficientes:
Comparando com a forma padrão ax² + bx + c:
a = -10
b = 100
c = 2000 - 4. Calculando o x do Vértice (o Aumento Ideal):
Xv = -b / (2a)
Xv = -100 / (2 * -10)
Xv = -100 / -20
Xv = 5 - 5. Interpretando o Resultado:
Este x = 5 não é o preço final! Ele representa a quantidade de aumentos de R$ 1,00.
Para calcular o aumento total, multiplicamos 5 * R$ 1,00.
Assim, o aumento total é R$ 5,00. - 6. Calculando o Preço Final:
Preço Ideal = Preço Inicial + Aumento Total
Preço Ideal = 10 + 5 = 15
🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨
Cuidado! A armadilha aqui é a interpretação do Xv. Após um cálculo perfeito, você encontra Xv = 5. A adrenalina sobe e você procura desesperadamente uma alternativa que contenha “5”. Isso está errado!
A variável x que criamos era um instrumento para a investigação, não a resposta final. Ela representa quantos aumentos devem ser feitos, não o valor final. Defenda-se sempre relendo o PASSO 1. Qual era a missão? “Ele deve cobrar por serviço o valor de…”. A missão é encontrar o preço, não o número de aumentos.
A Bússola (O Perfil do Culpado):
- Síntese do raciocínio: Modelamos a renda como uma função do segundo grau em relação ao número de aumentos de R$1 (x). Calculamos o Xv para encontrar o número de aumentos que maximiza a renda. Por fim, somamos esse aumento ao preço inicial para encontrar o preço ótimo de venda.
- Expectativa: O “retrato falado” da nossa resposta é um preço final de R$ 15,00.
4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)
- A) R$ 10,00.
- Análise de Correspondência: Não corresponde à nossa expectativa de R$ 15,00.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato não realiza a otimização e simplesmente assume o status quo como sendo a melhor opção.
- O “Diagnóstico do Erro”: Fuga ao Tema (não resolver o problema de maximização).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- B) R$ 10,50.
- Análise de Correspondência: Não corresponde a R$ 15,00.
- A “Narrativa do Erro”: Representa uma tentativa de aumento pequena e sem base matemática, talvez por um chute conservador ou um erro de cálculo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Análise Superficial.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- C) R$ 11,00.
- Análise de Correspondência: Não corresponde a R$ 15,00.
- A “Narrativa do Erro”: Corresponde a um aumento de apenas R$1 (x=1), o que melhora a receita, mas não a maximiza.
- O “Diagnóstico do Erro”: Análise Incompleta.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
- D) R$ 15,00.
- Análise de Correspondência: Corresponde perfeitamente ao resultado da nossa investigação, sendo o preço que leva a renda ao valor máximo.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
- E) R$ 20,00.
- Análise de Correspondência: Não corresponde a R$ 15,00.
- A “Narrativa do Erro”: O candidato pode confundir uma das raízes da função com o ponto de máximo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir a Raiz com o Vértice.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)
Frase de Fechamento: A resposta correta é R$ 15,00, o preço que equilibra perfeitamente o ganho por serviço com a perda de clientes, ilustrando o poder da matemática para encontrar o “ponto de ouro” nos negócios.
Resumo-flash (A Imagem Mental): Renda máxima é o pico da montanha. Para achar o caminho (x), use o Xv. O preço final é só o passo seguinte.
🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de otimização é crucial na Logística. Imagine uma empresa de entregas. Se os caminhões andam muito rápido, chegam antes, mas o consumo de combustível (-ax²) aumenta drasticamente. Se andam muito devagar (+bx), economizam combustível, mas pagam mais em horas extras para os motoristas. Existe uma velocidade ótima que minimiza o custo total da viagem. Engenheiros e analistas de logística criam funções (muitas vezes quadráticas) para modelar esse custo e encontram o Xv para determinar a velocidade ideal de cruzeiro, economizando milhões.
