Questão 137 caderno verde ENEM 2017 Libras 2° Dia

Em 2011, a costa nordeste do Japão foi sacudida por um terremoto com magnitude de 8,9 graus na escala Richter. A energia liberada E por esse terremoto, em kWh, pode ser calculada por

Sendo E₀= 7 . 10^-3 kWh e R a magnitude desse terremoto na escala Richter. Considere 0,84 como aproximação para log 7.

Disponível em: http://oglobo.globo.com. Acesso em: 2 ago. 2012.

A energia liberada pelo terremoto que atingiu a costa nordeste do Japão em 2011, em KWh, foi de

A) 10^10,83

B) 10^11,19

C) 10^14,19

D) 10^15,51

E) 10^17,19

✍ Resolução Em Texto

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
- Logaritmos (definição e propriedades: logaritmo do quociente e do produto)
- Equações Logarítmicas
- Manipulação Algébrica
Tema/Objetivo Geral: Aplicação de uma fórmula logarítmica para encontrar uma grandeza (energia) a partir de dados fornecidos em um contexto real (terremoto).
Nível da Questão:
- Médio. Embora a questão forneça todos os dados e a fórmula, a resolução exige um domínio seguro das propriedades operatórias dos logaritmos e atenção aos detalhes nos cálculos com decimais e sinais. Um pequeno deslize em qualquer uma dessas etapas pode levar a uma das alternativas incorretas, que são projetadas para capturar esses erros comuns.
Gabarito:
- B) A alternativa está correta pois, ao substituir os valores na fórmula e aplicar corretamente as propriedades dos logaritmos para isolar a variável E (energia), o resultado final obtido é precisamente 10¹¹‚¹⁹.

1️⃣ PASSO 1 – O QUE A QUESTÃO QUER? (O MAPA DA MINA)

Decodificação do Objetivo: Em bom português, a missão é pegar a fórmula da energia do terremoto, colocar os números que o enunciado nos deu (magnitude R, energia E₀ e log 7) nos lugares certos e fazer a conta para descobrir o valor da energia E.

Simplificação Radical (A Analogia Central): Pense na fórmula como um cofre trancado. O tesouro que queremos, a energia E, está lá dentro, protegido por um logaritmo. O verdadeiro desafio aqui é usar as “ferramentas” certas (as propriedades dos logaritmos) para “desmontar” a fechadura do cofre, uma peça de cada vez, até que o tesouro E esteja livre e isolado.

Plano de Ataque (O Roteiro da Investigação): Nosso roteiro para abrir este cofre será o seguinte:

Substituir as Pistas: Colocaremos os valores de R e E₀ na fórmula principal.
Isolar o Logaritmo: Faremos a manipulação algébrica inicial para deixar o termo log(…) sozinho de um lado da equação.
Aplicar as Propriedades: Usaremos as regras do logaritmo para “quebrar” o termo complexo log(E/E₀) em partes menores e mais fáceis de manusear.
Resolver para E: Com tudo simplificado, isolaremos a incógnita E para encontrar nosso tesouro.

2️⃣ PASSO 2 – DESVENDANDO AS FERRAMENTAS (A CAIXA DE FERRAMENTAS)

Para este caso, precisamos de um dossiê completo sobre nosso principal suspeito: o Logaritmo na base 10.

Dossiê de Ferramentas: O Logaritmo (Base 10)

Identidade: log(x). Quando a base não é mostrada, ela é 10. Ele responde à pergunta: “A que potência o número 10 precisa ser elevado para resultar em x?”
Ferramenta Mestra (A Definição):
log(A) = B é exatamente a mesma coisa que 10ᴮ = A. É assim que convertemos da forma logarítmica para a exponencial.

Ferramentas de Desmontagem (As Propriedades):

Logaritmo do Quociente (da Divisão): log(A / B) = log(A) – log(B)
Logaritmo do Produto (da Multiplicação): log(A * B) = log(A) + log(B)
Logaritmo da Potência: log(Aⁿ) = n * log(A) (Especialmente útil para log(10⁻³) = -3 * log(10) = -3).

3️⃣ PASSO 3 – INTERPRETAÇÃO GUIADA (MÃO NA MASSA)

Agora, vamos executar nosso plano de ataque com precisão cirúrgica e sem interrupções.

Execução Sequencial:
1. Substituindo as Pistas:
  A fórmula é R = (2/3) * log(E / E₀).
  Com R = 8,9 e E₀ = 7 * 10⁻³, temos:
  8,9 = (2/3) * log(E / (7 * 10⁻³))
2. Isolando o Bloco do Logaritmo:
  Para tirar o 2/3 da frente do log, vamos passá-lo para o outro lado invertido (3/2).
  8,9 * (3/2) = log(E / (7 * 10⁻³))
  13,35 = log(E / (7 * 10⁻³))
3. Aplicando as Propriedades e Resolvendo:
  Usamos a Ferramenta do Quociente: 13,35 = log(E) – log(7 * 10⁻³)
  Depois, a Ferramenta do Produto: 13,35 = log(E) – [log(7) + log(10⁻³)]
  Substituindo os valores dados (log 7 ≈ 0,84) e conhecidos (log 10⁻³ = -3):
  13,35 = log(E) – [0,84 – 3]
  Resolvendo o interior dos colchetes:
  13,35 = log(E) – [-2,16]
  Agora, o ponto crítico do duplo sinal:
  13,35 = log(E) + 2,16
  Isolamos log(E):
  log(E) = 13,35 – 2,16
  log(E) = 11,19
  Finalmente, aplicamos a definição de logaritmo para encontrar E:
  E = 10¹¹‚¹⁹

🚨 ARMADILHA CLÁSSICA! 🚨

Cuidado! Relembre o passo crucial: 13,35 = log(E) – [-2,16].
A armadilha aqui é o duplo sinal de negativo. A mente, na pressa, pode ignorar um dos sinais e fazer 13,35 – 2,16, o que estaria errado.

A regra fundamental da álgebra nos salva: “menos com menos dá mais”.
Por isso, a expressão – [-2,16] se transforma em + 2,16.

Sempre faça uma pausa antes de resolver operações com múltiplos sinais. Fale a regra em voz alta para si mesmo “menos com menos dá mais” antes de escrever o próximo passo. A precisão aqui vale mais que a velocidade.

A Bússola (O Perfil do Culpado):

Síntese do raciocínio: Após substituir os dados, isolamos o termo logarítmico, aplicamos as propriedades do quociente e do produto para desmembrá-lo, resolvemos os valores conhecidos com atenção especial à regra de sinais e, por fim, convertemos a equação logarítmica final para sua forma exponencial.
Expectativa: Estamos procurando a alternativa que apresente a energia E como uma potência de 10, com o expoente exatamente igual a 11,19.

4️⃣ PASSO 4 – ALTERNATIVAS COMENTADAS (A AUTÓPSIA)

A) 10^10,83
- Análise de Correspondência: O expoente 10,83 não corresponde ao nosso resultado de 11,19.
- O “Diagnóstico do Erro”: Erro de Cálculo.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
B) 10^11,19
- Análise de Correspondência: O expoente 11,19 encaixa-se perfeitamente na nossa Expectativa. É o resultado exato da nossa investigação dedutiva.
- Conclusão: 🟢 Alternativa correta.
C) 10^14,19
- Análise de Correspondência: O expoente 14,19 é diferente de 11,19.
- A “Narrativa do Erro”: Surge de um erro de sinal. O candidato calcula log(E) = 13,35 + 0,84, ignorando o -3.
- O “Diagnóstico do Erro”: Reducionismo (ignorar parte da informação).
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.
D) 10^15,51
- Análise de Correspondência: O expoente 15,51 não corresponde ao nosso resultado de 11,19.
- A “Narrativa do Erro”: É o resultado de cair na Armadilha Clássica e calcular log(E) = 13,35 + 2,16, somando quando deveria subtrair no penúltimo passo.
- O “Diagnóstico do Erro”: Inversão de Operação.
- Conclusão: 🟡 Alternativa incorreta.
E) 10^17,19
- Análise de Correspondência: O expoente 17,19 não confere com 11,19.
- A “Narrativa do Erro”: Este erro vem de tratar log(10⁻³) como +3. O cálculo ficaria: 13,35 = log(E) – (0,84 + 3), que leva a log(E) = 13,35 + 3,84 = 17,19.
- O “Diagnóstico do Erro”: Confundir o Sinal do Expoente.
- Conclusão: 🔴 Alternativa incorreta.

5️⃣ PASSO 5 – O GRAND FINALE (APRENDIZAGEM EXPANDIDA)

Frase de Fechamento: A resposta correta é 10¹¹‚¹⁹, demonstrando que dominar as propriedades dos logaritmos nos permite “desempacotar” equações complexas e revelar a solução escondida dentro delas. 🏆

Resumo-flash (A Imagem Mental): Uma equação com logaritmo é um bilhete criptografado; as propriedades são a chave para traduzi-lo e ler a mensagem final.

🧠 Para ir Além (A Ponte para o Futuro): O mesmo princípio de escala logarítmica é fundamental na Acústica (Física) para medir a intensidade do som em decibéis (dB).

Um aumento de 10 dB não significa um som 10 unidades mais forte, mas sim 10 vezes mais intenso. Um aumento de 20 dB é 100 vezes mais intenso. Assim como na escala Richter, uma pequena mudança no número do logaritmo representa uma variação gigantesca na energia do fenômeno real, seja ele um som ou um terremoto. Isso mostra como a matemática nos ajuda a lidar com grandezas que variam de forma explosiva!