O Indicador do CadÚnico (ICadÚnico), que compõe o cálculo do Índice de Gestão Descentralizada do Programa Bolsa Família (IGD), é obtido por meio da média aritmética entre a taxa de cobertura qualificada de cadastros (TC) e a taxa de atualização de cadastros (TA), em que, TC= NV/NF, TA= NA/NV, NV é o número de cadastros domiciliares válidos no perfil do CadÚnico, NF é o número de famílias estimadas como público alvo do CadÚnico e NA é o número de cadastros domiciliares atualizados no perfil do CadÚnico.
Portaria n° 148 de 27 de abril de 2006 (adaptado).
Suponha que o IcadÚnico de um município específico é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a
a) 10.000.
b) 7.500.
c) 5.000.
d) 4.500.
e) 3.000.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Álgebra Básica
- Sistemas de Equações Lineares
- Interpretação de Fórmulas e Textos
Tema/Objetivo Geral:
- Modelar um problema a partir de definições e cenários específicos em um sistema de equações para encontrar o valor de uma variável desconhecida.
Nível da Questão
- Difícil – A questão é considerada difícil porque exige a tradução de um texto técnico com várias fórmulas interligadas em um sistema de equações. A solução não é direta e requer manipulação algébrica habilidosa para isolar e relacionar as variáveis de forma eficiente até encontrar o valor solicitado.
Gabarito
- C) 5.000. – Este é o valor correto para NF (número de famílias), pois é o único que satisfaz simultaneamente as duas condições do ICadÚnico e a relação de soma entre NA e NV.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A parte crucial do enunciado é: “Suponha que o IcadÚnico […] é 0,6. Porém, dobrando NF o IcadÚnico cairá para 0,5. Se NA + NV = 3.600, então NF é igual a…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão nos pede para encontrar o valor de NF (o número de famílias estimadas como público alvo), utilizando as fórmulas fornecidas e as duas situações descritas.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é montar um sistema de equações a partir das informações dadas para, no final, isolar e calcular o valor de NF.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a chave para resolver o problema é usar as duas situações (ICadÚnico = 0,6 e ICadÚnico = 0,5) para encontrar uma relação entre NV e NF? Essa relação será a peça que falta para resolver o quebra-cabeça.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Vamos primeiro organizar as fórmulas dadas no texto de apoio:
- Variáveis:
- NF: Número de Famílias (nosso objetivo).
- NV: Número de cadastros Válidos.
- NA: Número de cadastros Atualizados.
- Taxas:
- Taxa de Cobertura (TC) = NV / NF
- Taxa de Atualização (TA) = NA / NV
- Indicador Principal:
- ICadÚnico = (TC + TA) / 2
- Sistema de Equações: É um conjunto de equações com múltiplas variáveis. O objetivo é usar as equações em conjunto para encontrar os valores dessas variáveis. A estratégia mais comum é isolar uma variável em uma equação e substituí-la em outra, ou somar/subtrair equações para eliminar uma variável.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir o problema: temos um indicador (ICadÚnico) que é a média de duas taxas (TC e TA). A gente conhece o valor desse indicador em duas situações diferentes: uma normal e outra onde o número de famílias (NF) dobra. Além disso, temos uma informação extra que soma outras duas variáveis (NA + NV). Nossa missão é usar todas essas pistas para desvendar o valor original de NF.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será puramente algébrico:
- Escrever a fórmula do ICadÚnico para a primeira situação, criando a Equação I.
- Escrever a fórmula do ICadÚnico para a segunda situação (com NF dobrado), criando a Equação II.
- Manipular as Equações I e II para encontrar uma relação direta entre NV e NF.
- Usar essa relação para encontrar NA em função de NF.
- Substituir as expressões de NA e NV (em função de NF) na equação final (NA + NV = 3.600) para, finalmente, encontrar o valor de NF.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Montando a Equação I (Situação 1):
ICadÚnico = 0,6
0,6 = (TC + TA) / 2
1,2 = TC + TA
Substituindo as fórmulas de TC e TA:
1,2 = (NV / NF) + (NA / NV) (Equação I)
2. Montando a Equação II (Situação 2):
NF é dobrado, então o novo NF é 2*NF. A nova TC será TC’ = NV / (2*NF). As outras variáveis (NA e NV) não mudam. O novo ICadÚnico é 0,5.
0,5 = (TC’ + TA) / 2
1,0 = TC’ + TA
Substituindo as fórmulas:
1,0 = (NV / (2*NF)) + (NA / NV) (Equação II)
3. Resolvendo o Sistema para achar a relação NV/NF:
Temos um sistema com as Equações I e II. O jeito mais esperto de resolver é subtrair a Equação II da Equação I. Note que o termo (NA / NV) vai se cancelar!
(1,2) – (1,0) = [ (NV / NF) + (NA / NV) ] – [ (NV / (2NF)) + (NA / NV) ]
0,2 = (NV / NF) – (NV / (2NF))
Vamos tirar o mínimo múltiplo comum do lado direito (que é 2NF):
0,2 = (2NV – NV) / (2NF)
0,2 = NV / (2NF)
Multiplicando os dois lados por 2:
0,4 = NV / NF
Ótimo! Agora temos uma relação direta: NV = 0,4 * NF.
4. Encontrando NA em função de NF:
Vamos substituir a relação NV / NF = 0,4 de volta na Equação I:
1,2 = (NV / NF) + (NA / NV)
1,2 = 0,4 + (NA / NV)
0,8 = NA / NV
Logo, NA = 0,8 * NV.
Agora, como já sabemos que NV = 0,4 * NF, podemos substituir:
NA = 0,8 * (0,4 * NF)
NA = 0,32 * NF.
5. Usando a equação final para encontrar NF:
O enunciado nos deu a última peça: NA + NV = 3.600.
Agora substituímos as expressões que encontramos para NA e NV:
(0,32 * NF) + (0,4 * NF) = 3.600
0,72 * NF = 3.600
NF = 3.600 / 0,72
Para facilitar a divisão, podemos multiplicar o numerador e o denominador por 100:
NF = 360.000 / 72
NF = 5.000
4.2 Verificação Intermediária
Se NF = 5.000, então:
NV = 0,4 * 5.000 = 2.000
NA = 0,32 * 5.000 = 1.600
Verificando a soma: NA + NV = 1.600 + 2.000 = 3.600. Bateu perfeitamente com a condição do problema.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria se confundir na montagem da segunda equação, alterando variáveis que deveriam permanecer constantes. Outro ponto de erro comum é a manipulação algébrica com frações, especialmente na hora de subtrair as duas equações principais.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou ao valor de NF = 5.000. Esperamos encontrar este número exato entre as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- a) 10.000.
- b) 7.500.
- c) 5.000.
- d) 4.500.
- e) 3.000.
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (a), (b), (d), (e): Incorretas. Esses valores não satisfazem o sistema de equações derivado das condições do problema.
- 🟢 (c) 5.000: Correto. Este é o valor exato para NF que encontramos após resolver o sistema de equações.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se traduzir as definições e os dois cenários do problema em um sistema de três equações. A manipulação algébrica desse sistema permitiu expressar as variáveis NA e NV em função de NF, que, ao serem substituídas na equação de restrição (NA + NV = 3.600), revelou o valor final de NF.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C, que corresponde a NF = 5.000.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas complexos com múltiplas fórmulas e condições, a chave é transformar cada condição em uma equação. Depois, procure por maneiras inteligentes de combinar essas equações para eliminar variáveis e simplificar o problema.
