Considere um ponto P em uma circunferência de raio r no plano cartesiano. Seja Q a projeção ortogonal de P sobre o eixo x, como mostra a figura, e suponha que o ponto P percorra, no sentido anti-horário, uma distância d ≤ r sobre a circunferência.
Então, o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por
a) r( 1 – sen d/r ).
b) r( 1 – cos d/r ).
c) r( 1 – tag d/r ).
d) rsen (r/d).
e) rcos (r/d).
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Trigonometria na Circunferência
- Geometria Analítica
- Relação entre Arco, Raio e Ângulo (Radianos)
Tema/Objetivo Geral:
- Relacionar o deslocamento de um ponto ao longo de um arco de circunferência com o deslocamento de sua projeção ortogonal em um dos eixos cartesianos.
Nível da Questão
- Difícil – A questão é considerada difícil porque exige um alto nível de abstração. O aluno precisa parametrizar corretamente o movimento do ponto P, converter a distância do arco em um ângulo em radianos e, o mais importante, deduzir a posição inicial correta do ponto P para que o resultado corresponda a uma das alternativas, já que o diagrama pode ser interpretado de múltiplas formas.
Gabarito
- B) r(1 – cos d/r). – Esta expressão representa a variação horizontal da projeção Q, calculada a partir da diferença entre sua posição inicial (no extremo da circunferência) e sua posição final, que depende do cosseno do ângulo percorrido.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
A pergunta central do problema é: “o ponto Q percorrerá, no eixo x, uma distância dada por…”
1.2 O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos uma fórmula que calcule a distância percorrida pela projeção Q no eixo x, enquanto o ponto original P se move sobre a circunferência.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar a expressão matemática para a variação da coordenada x do ponto P, ou seja, |x_final – x_inicial|.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a distância d é um comprimento de arco e não uma linha reta? O primeiro passo fundamental é converter essa distância em um ângulo, que é a linguagem da trigonometria na circunferência.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Projeção Ortogonal: É a “sombra” que um ponto projeta em um eixo, formando um ângulo de 90° com a linha que os une. A coordenada x do ponto Q é sempre a mesma que a coordenada x do ponto P.
- Relação Arco-Ângulo (Radianos): A medida de um ângulo central (θ), em radianos, é definida pela razão entre o comprimento do arco (d) que ele subtende e o raio (r) da circunferência.
- Fórmula: θ = d / r
- Coordenadas Cartesianas na Circunferência: As coordenadas de um ponto em uma circunferência de raio r e centro em (xc, yc) podem ser descritas em função de um ângulo θ:
- x = xc + r * cos(θ)
- y = yc + r * sin(θ)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine um ponto P girando em uma roda-gigante. Q é a sombra de P no chão (eixo x). À medida que P sobe e desce na roda, sua sombra Q se move para frente e para trás no chão. Nós queremos descobrir uma fórmula para saber o quanto a sombra Q andou, sabendo o quanto o ponto P andou sobre a borda da roda.
3.2 Estratégia Geral
- Definir um sistema de coordenadas e a posição inicial de P que seja consistente com as alternativas.
- Converter a distância d percorrida por P em um ângulo central θ em radianos.
- Determinar a coordenada x inicial do ponto Q.
- Determinar a nova coordenada x final do ponto Q após o movimento.
- Calcular a distância percorrida por Q, que é a diferença entre a posição inicial e a final.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Definição do Cenário e Posição Inicial:
O diagrama mostra uma circunferência tangente aos eixos, o que implica que seu centro está em C = (r, r). Para que a distância percorrida pela projeção Q seja descrita por uma função do tipo r(1 – cos(θ)), o movimento de Q deve começar em um extremo e se deslocar para o centro. Isso acontece se o ponto P iniciar sua jornada no ponto mais à direita da circunferência.
- Posição Inicial de P: P_inicial = (2r, r).
- Posição Inicial de Q: A projeção de P_inicial no eixo x tem coordenada x_inicial = 2r.
2. Conversão da Distância d em Ângulo θ:
O ponto P percorre um arco de comprimento d. O ângulo central θ correspondente, em radianos, é dado por:
- θ = d / r
3. Determinação da Posição Final de Q:
O ponto P se move no sentido anti-horário por um ângulo θ = d/r a partir da sua posição inicial. A nova coordenada x de P (que é a mesma de Q) pode ser calculada usando a fórmula das coordenadas, com centro em (r, r):
- x_final = xc + r * cos(θ)
- x_final = r + r * cos(d/r)
4. Cálculo da Distância Percorrida por Q:
A distância é a diferença entre a posição inicial e a final de Q. Como o ponto se move da direita para a esquerda, x_inicial > x_final.
- Distância = x_inicial – x_final
- Distância = 2r – [r + r * cos(d/r)]
- Distância = 2r – r – r * cos(d/r)
- Distância = r – r * cos(d/r)
- Fatorando o r, chegamos à expressão final:
Distância = r * (1 – cos(d/r))
4.2 Possível armadilha
A principal armadilha é a interpretação do diagrama. Se o aluno assumir que o ponto P começa no topo da circunferência, o cálculo da projeção em x envolveria a função seno, levando a uma resposta incorreta. A chave é testar as posições iniciais canônicas (topo, base, direita, esquerda) e ver qual delas leva a uma das alternativas.
4.3 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou à expressão r(1 – cos(d/r)). Agora, vamos procurar por esta fórmula exata nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
- a) r(1 – sen d/r)
- b) r(1 – cos d/r)
- c) r(1 – tag d/r)
- d) rsen(r/d)
- e) rcos(r/d)
5.2 Justificativa Individual
- 🔴 (A) r(1 – sen d/r): Incorreto. Esta fórmula descreveria a distância percorrida pela projeção no eixo y se o ponto P partisse da posição mais à direita.
- 🟢 (B) r(1 – cos d/r): Correto. Esta é exatamente a expressão que encontramos para a distância percorrida pela projeção Q no eixo x, assumindo que P parte do ponto mais à direita da circunferência.
- 🔴 (C) r(1 – tag d/r): Incorreto. A função tangente não é usada para descrever diretamente as projeções cartesianas de um ponto na circunferência.
- 🔴 (D) rsen(r/d): Incorreto. O argumento da função trigonométrica está invertido (deveria ser d/r) e a expressão não representa a variação da posição.
- 🔴 (E) rcos(r/d): Incorreto. O argumento está invertido e a expressão não representa a variação da posição.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se determinar a variação da coordenada x da projeção Q. Para isso, convertemos o arco d em um ângulo θ = d/r. Assumindo que o movimento começa no ponto mais à direita da circunferência, a posição x inicial é 2r e a final é r + r*cos(θ). A diferença entre essas posições nos dá a distância percorrida.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B, que corresponde a r(1 – cos d/r).
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas que relacionam movimento em arco com projeções lineares, a estratégia fundamental é converter o comprimento do arco em um ângulo em radianos (θ = arco/raio) e usar as funções cos(θ) e sen(θ) para descrever as posições cartesianas.
