Numa feira de artesanato, uma pessoa constrói formas geométricas de aviões, bicicletas, carros e outros engenhos com arame inextensível. Em certo momento, ele construiu uma forma tendo como eixo de apoio outro arame retilíneo e rígido, cuja aparência é mostrada na
figura seguinte:
Ao girar tal forma em torno do eixo, formou-se a imagem de um foguete, que pode ser pensado como composição, por justaposição, de diversos sólidos básicos de revolução.
Sabendo que, na figura, os pontos B, C, E e F são colineares, AB = 4FG, BC = 3FG, EF = 2FG, e utilizando-se daquela forma de pensar o foguete, a decomposição deste, no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:
A) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto.
B) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero.
C) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.
D) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro.
E) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro.
Resolução em Texto
📚 Matórias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Sólidos de Revolução: Cone, Cilindro, Tronco de Cone)
- Raciocínio Lógico-Visual
🎯 Tema/Objetivo Geral: Identificar os sólidos de revolução formados pela rotação de diferentes segmentos de reta em torno de um eixo.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão exige a habilidade de visualizar em 3D o resultado de uma rotação de uma figura 2D. É preciso conhecer a “assinatura” de cada sólido de revolução: qual figura plana o gera? A distinção entre cone e tronco de cone a partir da rotação de segmentos inclinados é o ponto principal, que pode ser desafiador para alguns alunos.
✅ Gabarito: Alternativa C.
Resumo: Ao girar a forma de arame em torno do eixo AG, cada segmento da “silhueta” gera um sólido de revolução. O segmento inclinado AB gera um cone. O segmento horizontal BC gera um cilindro. O segmento inclinado DE (partindo de C, que está colinear a B) gera um tronco de cone. E o segmento horizontal EF gera outro cilindro. A sequência é, portanto: cone, cilindro, tronco de cone, cilindro.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“a decomposição deste [foguete], no sentido da ponta para a cauda, é formada pela seguinte sequência de sólidos:”
O que está sendo pedido?
A questão nos pede para identificar, em ordem, os sólidos geométricos tridimensionais que são formados quando cada parte do contorno do arame (de A até F) gira em torno do eixo horizontal.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é “fatiar” a figura do arame em segmentos (AB, BC, CDE, EF) e, para cada um, determinar qual sólido 3D é gerado por sua rotação. Em seguida, montamos a sequência correta.
🧠 Se você girar um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos, que forma 3D você obtém? E se girar um retângulo em torno de um de seus lados? A resposta a essas perguntas é a base para resolver a questão.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖 (Geração de Sólidos de Revolução)
- Sólido de Revolução: Um sólido geométrico formado pela rotação (giro de 360°) de uma figura plana em torno de um eixo.
- Gerando um CONE: Um cone é gerado pela rotação de um triângulo retângulo em torno de um de seus catetos. No nosso caso, a rotação de um segmento de reta inclinado que parte do eixo (como AB) gera a superfície lateral de um cone.
- Gerando um CILINDRO: Um cilindro é gerado pela rotação de um retângulo em torno de um de seus lados. A rotação de um segmento de reta horizontal (paralelo ao eixo), como BC, gera a superfície lateral de um cilindro.
- Gerando um TRONCO DE CONE: Um tronco de cone é gerado pela rotação de um trapézio retângulo em torno do lado perpendicular às bases. A rotação de um segmento de reta inclinado que não parte do eixo, como DE, gera a superfície lateral de um tronco de cone.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que a linha de arame ABCDEFG é o contorno de um objeto que você vai colocar em um torno de oleiro. O eixo AG é o centro do torno. Quando você liga o torno e a peça gira muito rápido, nossos olhos veem uma forma 3D sólida. A pergunta é: se olharmos para o “foguete” formado, de quais “peças” 3D ele é feito, da ponta (A) para a cauda (G)? A ponta do foguete (gerada por AB) é o quê? E o primeiro “corpo” (gerado por BC)? E assim por diante.
Estratéia Geral 🗺️
Vamos analisar a figura do arame segmento por segmento, da esquerda para a direita (da “ponta para a cauda”), e identificar o sólido de revolução correspondente a cada parte.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Primeira Parte: Ponta do Foguete (Segmento AB)
- Figura Plana Geradora: O segmento AB é uma linha inclinada que começa no eixo de rotação no ponto A. Ao girar, ele forma a superfície lateral de um sólido pontiagudo.
- Sólido Gerado: CONE RETO. (A base é um círculo e o eixo de rotação é perpendicular à base).
2. Segunda Parte: Primeiro Corpo do Foguete (Segmento BC)
- Figura Plana Geradora: O segmento BC é uma linha horizontal, paralela ao eixo de rotação.
- Sólido Gerado: CILINDRO RETO. (A rotação de um segmento paralelo a um eixo gera a superfície lateral de um cilindro).
3. Terceira Parte: Afunilamento do Foguete (Segmento CDE)
- Figura Plana Geradora: A linha quebrada CDE, ao girar, é definida pelo comportamento do segmento inclinado DE. O ponto C gira, formando um círculo maior, e o ponto E gira, formando um círculo menor. A linha DE conecta esses dois círculos.
- Sólido Gerado: Um sólido afunilado com duas bases circulares de raios diferentes. Esta é a definição de um TRONCO DE CONE.
4. Quarta Parte: Seção Final do Foguete (Segmento EF)
- Figura Plana Geradora: O segmento EF é outra linha horizontal, paralela ao eixo de rotação.
- Sólido Gerado: CILINDRO RETO.
Montando a Sequência:
A decomposição do foguete, da ponta para a cauda, é:
CONE RETO → CILINDRO RETO → TRONCO DE CONE → CILINDRO RETO
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é confundir o sólido gerado pelo segmento DE. Como ele é uma linha inclinada, muitos podem pensar que gera um cone. No entanto, como ele não parte do eixo de rotação, ele gera um tronco de cone. Um cone só seria formado se a linha inclinada começasse ou terminasse no eixo de rotação.
Agora, vamos comparar nossa sequência com as alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) pirâmide, cilindro reto, cone reto, cilindro reto.
Incorreta. Pirâmides são poliedros (faces planas), não corpos de revolução.
🔴 B) cilindro reto, tronco de cone, cilindro reto, cone equilátero.
Incorreta. A sequência está na ordem errada e classifica o cone e o cilindro de forma específica sem necessidade.
🟢 C) cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro equilátero.
Correta. Corresponde à nossa sequência: cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro. A qualificação final de “equilátero” para o último cilindro não invalida a sequência correta dos sólidos. (Nota: Um cilindro equilátero tem altura igual ao diâmetro da base. Pelos dados, FG é o raio. EF = 2FG = diâmetro. Portanto, o último cilindro é equilátero, o que torna a resposta ainda mais precisa).
🔴 D) cone equilátero, cilindro reto, pirâmide, cilindro.
Incorreta. Usa “pirâmide”, que é um poliedro.
🔴 E) cone, cilindro equilátero, tronco de pirâmide, cilindro.
Incorreta. Usa “tronco de pirâmide”, que é um poliedro.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A questão pede a identificação da sequência de sólidos de revolução formados pela rotação da figura de arame em torno do eixo AG. Analisando cada segmento, temos:
- O segmento inclinado AB, partindo do eixo, gera um cone reto.
- O segmento horizontal BC, paralelo ao eixo, gera um cilindro reto.
- A seção CDE, com o segmento inclinado DE não tocando o eixo, gera um tronco de cone.
- O segmento horizontal EF, paralelo ao eixo, gera um cilindro reto (que, pelas proporções dadas, é equilátero).
A sequência correta é, portanto, cone reto, cilindro reto, tronco de cone e cilindro.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a C.
Resumo Final para Revisão
Lembre-se das geratrizes dos sólidos de revolução:
- Segmento inclinado tocando o eixo → CONE
- Segmento paralelo ao eixo → CILINDRO
- Segmento inclinado sem tocar o eixo → TRONCO DE CONE
- Semicírculo → ESFERA
