Algumas pesquisas estão sendo desenvolvidas para se obter arroz e feijão com maiores teores de ferro e zinco e tolerantes à seca. Em média, para cada 100 g de arroz cozido, o teor de ferro é de 1,5 mg e o de zinco é de 2,0 mg. Para 100 g de feijão, é de 7 mg o teor de ferro e de 3 mg o de zinco. Sabe-se que as necessidades diárias dos dois micronutrientes para uma pessoa adulta é de aproximadamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
Disponível em: http://www.embrapa.br. Acesso em: 29 abr. 2010 (adaptado).
Considere que uma pessoa adulta deseja satisfazer suas necessidades diárias de ferro e zinco ingerindo apenas arroz e feijão. Suponha que seu organismo absorva completamente todos os micronutrientes oriundos desses alimentos.
Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente?
A) 58 g e 456 g
B) 200 g e 200 g
C) 350 g e 100 g
D) 375 g e 500 g
E) 400 g e 89 g
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Álgebra – Sistemas de Equações Lineares)
Tema/Objetivo Geral:
Modelagem de um problema prático de nutrição através de um sistema de equações para encontrar as quantidades necessárias de dois componentes.
Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio pois exige a tradução de um problema textual em um sistema de duas equações com duas variáveis, o que é um passo interpretativo importante. A resolução do sistema envolve cálculos com números decimais, o que adiciona uma camada de complexidade em relação a sistemas com números inteiros.
Gabarito:
A alternativa correta é a C. Ela está correta porque, ao montar e resolver o sistema de equações que representa as necessidades diárias de ferro e zinco, a quantidade de arroz encontrada é de 350g e a de feijão é de 100g, satisfazendo ambas as condições.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Na situação descrita, que quantidade a pessoa deveria comer diariamente de arroz e feijão, respectivamente?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para encontrarmos as quantidades exatas, em gramas, de arroz e feijão que uma pessoa precisa consumir para atingir as metas diárias de ferro E de zinco.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é determinar dois valores (gramas de arroz e gramas de feijão) que, juntos, satisfaçam simultaneamente as duas equações nutricionais (uma para o ferro e outra para o zinco).
1.4 Pergunta de Atenção
Quando você tem duas quantidades desconhecidas (arroz e feijão) e duas condições a serem satisfeitas (meta de ferro e meta de zinco), que ferramenta matemática é perfeita para organizar e resolver o problema?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, a ferramenta matemática central é o Sistema de Equações Lineares.
- O que é um Sistema de Equações?
É um conjunto de duas ou mais equações que possuem as mesmas variáveis (as “incógnitas”). O objetivo é encontrar um conjunto de valores para essas variáveis que torne todas as equações do sistema verdadeiras ao mesmo tempo.
- Método da Substituição (para resolver sistemas):
É uma das formas mais intuitivas de resolver um sistema. A estratégia consiste em:- Isolar: Escolha uma das equações e isole uma das variáveis (deixe ela sozinha de um lado do sinal de igual).
- Substituir: Pegue a expressão que você encontrou para essa variável e substitua-a na outra equação. Isso criará uma nova equação com apenas uma variável.
- Resolver: Resolva essa nova equação para encontrar o valor da primeira variável.
- Encontrar a outra: Pegue o valor que você acabou de encontrar e substitua-o em qualquer uma das equações originais para achar o valor da segunda variável.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Pense nisso como um desafio de um cardápio. Você precisa montar um prato com arroz e feijão. O seu objetivo é que o prato final tenha exatamente 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco. Você sabe quanto cada 100g de arroz e feijão contribui para cada nutriente. A tarefa é descobrir a “receita” exata: quantos gramas de arroz e quantos gramas de feijão você precisa colocar no prato para bater as duas metas nutricionais perfeitamente.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Definir nossas variáveis, que serão as porções de 100g de cada alimento.
- Montar uma equação para a meta de Ferro.
- Montar uma equação para a meta de Zinco.
- Resolver o sistema de duas equações pelo método da substituição.
- Converter o resultado (em porções) de volta para gramas.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar a estratégia.
- 1. Definindo as variáveis:
- Seja a o número de porções de 100g de arroz.
- Seja f o número de porções de 100g de feijão.
- 2. Montando as equações:
- Equação do Ferro: Cada porção de arroz dá 1,5 mg e cada porção de feijão dá 7 mg. A meta é 12,25 mg.
1,5a + 7f = 12,25 (Equação 1) - Equação do Zinco: Cada porção de arroz dá 2,0 mg e cada porção de feijão dá 3 mg. A meta é 10 mg.
2a + 3f = 10 (Equação 2)
- Equação do Ferro: Cada porção de arroz dá 1,5 mg e cada porção de feijão dá 7 mg. A meta é 12,25 mg.
- 3. Resolvendo o sistema pelo Método da Substituição:
-
Passo 3.1 (Isolar):
Vamos isolar a variável a na Equação 2, que parece mais simples.
2a = 10 – 3f
a = (10 – 3f) / 2
a = 5 – 1,5f -
Passo 3.2 (Substituir):
Agora, vamos substituir essa expressão de a na Equação 1.
1,5 * (5 – 1,5f) + 7f = 12,25 -
Passo 3.3 (Resolver):
Vamos resolver para f.
(1,5 * 5) – (1,5 * 1,5f) + 7f = 12,25
7,5 – 2,25f + 7f = 12,25
4,75f = 12,25 – 7,5
4,75f = 4,75
f = 1
(Isso significa que a pessoa deve comer 1 porção de 100g de feijão). -
Passo 3.4 (Encontrar a outra):
Agora que sabemos que f=1, vamos usar a expressão que isolamos para achar a.
a = 5 – 1,5 * f
a = 5 – 1,5 * (1)
a = 5 – 1,5
a = 3,5
(Isso significa que a pessoa deve comer 3,5 porções de 100g de arroz).
-
- 4. Convertendo para gramas:
- Quantidade de Arroz: 3,5 porções * 100 g/por ção = 350 g
- Quantidade de Feijão: 1 porção * 100 g/por ção = 100 g
4.2 Verificação Intermediária
Vamos conferir se nossa resposta está correta, substituindo as quantidades em gramas (ou porções) nas metas originais.
- Ferro: (3,5 * 1,5 mg) + (1 * 7 mg) = 5,25 mg + 7 mg = 12,25 mg. (Correto!)
- Zinco: (3,5 * 2,0 mg) + (1 * 3 mg) = 7 mg + 3 mg = 10 mg. (Correto!)
Nossa solução satisfaz ambas as condições.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria tentar adivinhar a resposta testando as alternativas. Embora isso possa funcionar, é um método demorado e sujeito a erros de cálculo. Outra armadilha é montar as equações de forma incorreta, trocando os valores do arroz com os do feijão, ou do ferro com os do zinco. A organização inicial é a chave.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossos cálculos nos levaram a uma resposta de 350g de arroz e 100g de feijão. Agora, vamos procurar a alternativa que corresponde a esses valores.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 58 g e 456 g
B) 200 g e 200 g
C) 350 g e 100 g
D) 375 g e 500 g
E) 400 g e 89 g
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 58 g e 456 g: Incorreta. Essa combinação não satisfaz as necessidades nutricionais.
- (🟡) B) 200 g e 200 g: Parcialmente certo, não considerou… Esta combinação (2 porções de cada) atinge a meta de zinco (22 + 23 = 10 mg), mas excede muito a meta de ferro (21,5 + 27 = 17 mg).
- (🟢) C) 350 g e 100 g: Correta. Conforme verificado em nosso passo a passo, essa combinação atende perfeitamente a ambas as metas de 12,25 mg de ferro e 10 mg de zinco.
- (🔴) D) 375 g e 500 g: Incorreta. Essa combinação excede em muito as duas metas.
- (🔴) E) 400 g e 89 g: Incorreta. Essa combinação não atende às metas de forma precisa.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, traduzimos as informações nutricionais em um sistema de duas equações lineares com duas variáveis. Resolvemos este sistema utilizando o método da substituição para encontrar o número de porções de 100g de cada alimento e, por fim, convertemos esses valores para gramas.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 350 g e 100 g.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Sempre que um problema apresentar duas condições que devem ser satisfeitas simultaneamente por duas quantidades desconhecidas, a montagem de um sistema de equações é o caminho mais seguro e organizado para a solução.
