Questão 168 caderno azul ENEM 2010 PPL

Um arquiteto está fazendo um projeto de iluminação de ambiente e necessita saber a altura que deverá instalar a luminária ilustrada na figura.

Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m², considerando π ≅ 3,14, a altura h será igual a

A) 3 m.

B) 4 m.

C) 5 m.

D) 9 m.

E) 16 m.

Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Geometria Plana (Área do Círculo, Teorema de Pitágoras), Geometria Espacial (Cone).

Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de um dos elementos de um cone (altura) a partir de outros elementos conhecidos (área da base e geratriz).

Nível da Questão:
Médio. A questão é considerada de nível médio pois exige a aplicação de dois conceitos geométricos em sequência. Primeiro, o aluno precisa usar a fórmula da área do círculo para “descobrir” uma medida que não está explícita (o raio). Só depois é que ele pode aplicar o Teorema de Pitágoras para, finalmente, encontrar o valor solicitado.

Gabarito:
A alternativa correta é a B. A resposta está correta porque, a partir da área iluminada, descobre-se que o raio é de 3 m. Com o raio (cateto) e a geratriz (hipotenusa) de 5 m, o Teorema de Pitágoras revela que a altura (o outro cateto) é de 4 m.

🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo

1.1 Transcrição Essencial
“Sabendo-se que a luminária deverá iluminar uma área circular de 28,26 m², considerando π ≅ 3,14, a altura h será igual a”

1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcular a altura vertical h em que a luminária deve ser instalada.

1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar o valor de h em metros, utilizando os dados fornecidos sobre a área iluminada e a distância g.

1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a figura forma um triângulo retângulo, mas para usar o Teorema de Pitágoras e achar h, primeiro precisamos descobrir o valor do raio r?

📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários

2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisaremos de duas ferramentas matemáticas fundamentais:

Área do Círculo: A área é a medida da superfície de uma figura. Para um círculo, ela depende do seu raio.
- Fórmula: A = π * r²
- Termos:
  - A: Área do círculo (no nosso caso, a área iluminada).
  - π (pi): Uma constante matemática, que o problema pede para usar como 3,14.
  - r (raio): A distância do centro do círculo até sua borda.

Teorema de Pitágoras: É uma lei que se aplica a todos os triângulos retângulos (triângulos que têm um ângulo de 90°).
- Fórmula: (Hipotenusa)² = (Cateto)² + (Cateto)²
- Termos:
  - Hipotenusa: É sempre o lado mais longo do triângulo, oposto ao ângulo de 90°. Em nosso problema, é o lado g (a geratriz do cone).
  - Catetos: São os dois lados que formam o ângulo de 90°. Em nosso problema, são a altura h e o raio r.
  - Adaptando a fórmula para o nosso problema: g² = h² + r².

Triângulo Pitagórico 3-4-5: É um “atalho” famoso. Sempre que você encontrar um triângulo retângulo onde a hipotenusa é 5 e um dos catetos é 3, o outro cateto obrigatoriamente será 4 (e vice-versa). Ficar de olho nele pode economizar tempo.

📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema

3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que você está pendurando uma luminária que cria um cone de luz. Você sabe que a distância da lâmpada até a borda do círculo de luz no chão é de 5 metros (g). Você também sabe o tamanho do círculo de luz no chão: 28,26 m² (A). A pergunta é: qual a distância reta da lâmpada até o chão (h)? Para descobrir, primeiro vamos usar o tamanho do círculo de luz para achar seu raio (r). Depois, com g e r, usamos Pitágoras para achar h.

3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque tem duas etapas claras:

Etapa 1: Usar a fórmula da área do círculo (A = π * r²) para calcular o valor do raio r.
Etapa 2: Usar o Teorema de Pitágoras (g² = h² + r²) para calcular a altura h.

🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos

4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar nossa estratégia.

Etapa 1: Encontrar o raio (r) a partir da área.
- Fórmula da área:
  A = π * r²
- Substituindo os valores dados no problema:
  28,26 = 3,14 * r²
- Para isolar o r², passamos o 3,14 dividindo:
  r² = 28,26 / 3,14
- Realizando a divisão:
  r² = 9
- Agora, para achar r, tiramos a raiz quadrada de 9:
  r = √9
  r = 3 m

Etapa 2: Encontrar a altura (h) usando o Teorema de Pitágoras.
- Agora conhecemos os seguintes lados do triângulo retângulo:
  - Hipotenusa (g) = 5 m
  - Um cateto (r) = 3 m
  - O outro cateto (h) = ?

Fórmula de Pitágoras:
g² = h² + r²
Substituindo os valores conhecidos:
5² = h² + 3²
Calculando os quadrados:
25 = h² + 9
Para isolar o h², passamos o 9 subtraindo:
h² = 25 – 9
h² = 16
Agora, para achar h, tiramos a raiz quadrada de 16:
h = √16
h = 4 m

4.2 Verificação Intermediária
Descobrimos que o raio é 3 m. Ao colocar na fórmula de Pitágoras, encontramos a hipotenusa 5 m, e os catetos 3 m e h. Percebemos que se trata do famoso triângulo pitagórico 3-4-5, então o resultado h = 4 m é o esperado e confirma que nossos cálculos estão corretos.

4.3 Possível armadilha
Uma armadilha comum seria confundir a função dos lados no Teorema de Pitágoras. Você poderia, por engano, tratar a altura h como a hipotenusa e calcular h² = g² + r², o que daria h² = 5² + 3² = 25 + 9 = 34. Isso está errado porque a hipotenusa é sempre o lado inclinado e maior, no caso, g.

4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo passo a passo nos levou a um resultado de h = 4 m. Agora, vamos verificar se essa resposta está disponível nas alternativas.

✅ Passo 5: Análise das Alternativas

5.1 Listagem das Alternativas
A) 3 m.
B) 4 m.
C) 5 m.
D) 9 m.
E) 16 m.

5.2 Justificativa Individual

(🔴) A) 3 m: Incorreta. Este é o valor que encontramos para o raio (r), não para a altura (h).
(🟢) B) 4 m: Correta. Este valor corresponde exatamente ao nosso cálculo para a altura h.
(🔴) C) 5 m: Incorreta. Este é o valor da geratriz (g), que foi dado no enunciado.
(🔴) D) 9 m: Incorreta. Este é o valor de r² (o raio ao quadrado), antes de tirarmos a raiz quadrada.
(🔴) E) 16 m: Incorreta. Este é o valor de h² (a altura ao quadrado), antes de tirarmos a raiz quadrada.

🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final

6.1 Resumo do Raciocínio
Para encontrar a altura da luminária, primeiro utilizamos a fórmula da área do círculo para determinar o raio da base do cone de luz. Com o valor do raio em mãos, aplicamos o Teorema de Pitágoras ao triângulo retângulo formado pela altura, pelo raio e pela geratriz.

6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B) 4 m.

6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas envolvendo cones, lembre-se sempre do triângulo retângulo “escondido” dentro dele, formado por (h) altura, (r) raio e (g) geratriz. Ele é a chave para a maioria dos cálculos