Para verificar e analisar o grau de eficiência de um teste que poderia ajudar no retrocesso de uma doença numa comunidade, uma equipe de biólogos aplicou-o em um grupo de 500 ratos, para detectar a presença dessa doença. Porém, o teste não é totalmente eficaz, podendo existir ratos saudáveis com resultado positivo e ratos doentes com resultado negativo. Sabe-se, ainda, que 100 ratos possuem a doença, 20 ratos são saudáveis com resultado positivo e 40 ratos são doentes com resultado negativo.
Um rato escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A probabilidade de esse rato ser saudável é
A) 1/5
B) 4/5
C) 19/21
D) 19/25
E) 21/25
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática (Probabilidade Condicional, Interpretação de Dados)
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo de probabilidade condicional a partir de um conjunto de dados sobrepostos.
Nível da Questão:
Difícil. Esta questão é considerada difícil porque não se trata de uma probabilidade simples (parte/todo). Ela é um caso de probabilidade condicional. A informação “verificou-se que o seu resultado deu negativo” restringe o universo de possibilidades, e muitos alunos erram ao usar o total de 500 ratos como denominador. A organização dos dados também é um desafio.
Gabarito:
A alternativa correta é a C. A resposta está correta porque o universo de análise é restrito aos 420 ratos que tiveram resultado negativo. Dentre esses, 380 são saudáveis, resultando na probabilidade de 380/420, que simplifica para 19/21.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Um rato foi escolhido ao acaso, e verificou-se que o seu resultado deu negativo. A probabilidade de esse rato ser saudável é”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcular a probabilidade de um rato ser saudável, sabendo que já temos uma informação sobre ele: o resultado do seu teste foi negativo.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é encontrar o número de ratos saudáveis que tiveram resultado negativo e dividir esse valor pelo número total de ratos que tiveram resultado negativo (e não pelo total de 500 ratos).
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a pergunta não é sobre todos os 500 ratos? A frase “verificou-se que o seu resultado deu negativo” muda completamente o nosso universo de análise!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver este problema, precisamos dominar os seguintes conceitos:
- Probabilidade: É a chance de um evento ocorrer. A fórmula básica é:
- P = (Casos Favoráveis) / (Casos Possíveis)
- Probabilidade Condicional: É a probabilidade de um evento A ocorrer, dado que um outro evento B já ocorreu. A fórmula muda o nosso “universo” (os casos possíveis).
- Fórmula em palavras: P(A | B) = “Probabilidade de A acontecer, sabendo que B já aconteceu”.
- Cálculo: P(um rato ser saudável | seu teste deu negativo) = (Nº de ratos saudáveis COM resultado negativo) / (Nº TOTAL de ratos COM resultado negativo).
- Organização de Dados: Em problemas como este, com vários grupos que se cruzam (saudável/doente vs. positivo/negativo), a melhor ferramenta é montar uma tabela de dupla entrada para organizar as informações e evitar confusão.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que um biólogo separou todos os ratos em duas grandes gaiolas: uma para os que testaram “positivo” e outra para os que testaram “negativo”. A pergunta do problema é: se você for apenas até a gaiola dos resultados negativos e pegar um rato ao acaso, qual é a chance de ele ser um rato saudável? Note que os 500 ratos não estão mais todos juntos na nossa análise; estamos olhando apenas para um grupo específico.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será:
- Extrair todos os dados do texto.
- Montar uma tabela 2×2 para organizar as informações: Saudável/Doente nas linhas e Positivo/Negativo nas colunas.
- Preencher os espaços em branco da tabela com cálculos simples de subtração.
- Usar os valores da coluna “Negativo” para aplicar a fórmula da probabilidade condicional.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos executar nossa estratégia e montar a tabela.
- 1. Coleta de Dados do Enunciado:
- Total de Ratos = 500
- Total de Ratos Doentes = 100
- Ratos Saudáveis com resultado Positivo = 20
- Ratos Doentes com resultado Negativo = 40
- 2. Primeiros Cálculos e Montagem da Tabela:
- Se há 500 ratos no total e 100 são doentes, então o número de ratos saudáveis é:
Total de Saudáveis = 500 – 100 = 400
- Se há 500 ratos no total e 100 são doentes, então o número de ratos saudáveis é:
| Resultado Positivo | Resultado Negativo | Total por Condição | |
| Saudável | 20 | ? | 400 |
| Doente | ? | 40 | 100 |
| Total por Resultado | ? | ? | 500 |
- 3. Preenchendo os Espaços Vazios:
- Ratos Saudáveis com resultado Negativo: Se há 400 ratos saudáveis e 20 deles testaram positivo, o restante testou negativo.
400 – 20 = 380 - Ratos Doentes com resultado Positivo: Se há 100 ratos doentes e 40 deles testaram negativo, o restante testou positivo.
100 – 40 = 60
- Ratos Saudáveis com resultado Negativo: Se há 400 ratos saudáveis e 20 deles testaram positivo, o restante testou negativo.
- 4. Tabela Completa:
| Resultado Positivo | Resultado Negativo | Total por Condição | |
| Saudável | 20 | 380 | 400 |
| Doente | 60 | 40 | 100 |
| Total por Resultado | 80 | 420 | 500 |
- 5. Cálculo da Probabilidade Condicional:
- A questão nos diz que já sabemos que o resultado foi negativo. Portanto, nosso universo (Casos Possíveis) é o total de ratos com resultado negativo. Olhando a tabela, esse número é 420.
- Dentro desse universo, queremos saber a chance do rato ser saudável (Casos Favoráveis). Olhando a tabela, o número de ratos saudáveis com resultado negativo é 380.
- Aplicando a fórmula:
Probabilidade = (Saudáveis com resultado Negativo) / (Total com resultado Negativo)
Probabilidade = 380 / 420 - Simplificando a fração (podemos cortar o zero, dividindo por 10):
Probabilidade = 38 / 42 - Simplificando novamente (dividindo por 2):
Probabilidade = 19 / 21
4.2 Verificação Intermediária
Os números da tabela estão consistentes, pois as somas das linhas e colunas batem com os totais. O resultado de 19/21 é uma probabilidade alta (aproximadamente 90%), o que faz sentido, já que a grande maioria dos ratos que testaram negativo eram, de fato, saudáveis (380 de 420).
4.3 Possível armadilha
A armadilha clássica deste problema é calcular 380/500. Isso responderia à pergunta “Qual a probabilidade de sortear um rato que é saudável E teve resultado negativo?”, mas não à pergunta do enunciado. A condição “verificou-se que o seu resultado deu negativo” é o que muda tudo e restringe o denominador para 420.
4.4 Fechamento e expectativa
O cálculo nos levou à fração 19/21. Agora, vamos conferir as alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1/5
B) 4/5
C) 19/21
D) 19/25
E) 21/25
5.2 Justificativa Individual
- (🔴) A) 1/5: Incorreta. Corresponde a 100/500, a probabilidade de um rato ser doente no grupo geral.
- (🔴) B) 4/5: Incorreta. Corresponde a 400/500, a probabilidade de um rato ser saudável no grupo geral, ignorando a informação do teste.
- (🟢) C) 19/21: Correta. Confere com nosso cálculo da probabilidade condicional (380/420).
- (🔴) D) 19/25: Incorreta. Este é o resultado do erro mais comum, 380/500. Representa a probabilidade de sortear um rato que é saudável E teve resultado negativo, mas não é uma probabilidade condicional.
- (🔴) E) 21/25: Incorreta. Este é o resultado de 420/500, a probabilidade de um rato qualquer ter um resultado negativo.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para resolver o problema, organizamos os dados em uma tabela para determinar o número exato de indivíduos em cada categoria. Em seguida, aplicamos o conceito de probabilidade condicional, restringindo nosso universo de análise apenas aos ratos que testaram negativo (420) e calculando a proporção de saudáveis dentro desse novo universo (380).
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C) 19/21.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
A dica de ouro em probabilidade: fique atento a palavras como “sabendo que”, “dado que” ou “verificou-se que”. Elas são o sinal de que você está lidando com uma probabilidade condicional e o seu denominador (casos possíveis) provavelmente não será o total geral de elementos.
