O quadro seguinte mostra o desempenho de um time de futebol no último campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de gols marcados e a coluna da direita informa em quantos jogos o time marcou aquele número de gols.
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então
A) X = Y < Z.
B) Z < X = Y.
C) Y < Z < X.
D) Z < X < Y.
E) Z < Y < X.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Estatística Básica (Média Ponderada, Mediana e Moda)
- Interpretação de Tabela de Frequência
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo das três principais medidas de tendência central (média, mediana e moda) a partir de dados agrupados em uma tabela de frequência e a posterior comparação entre elas.
Nível da Questão
Médio – A questão é considerada de nível médio pois exige o cálculo de todas as três medidas de tendência central. Enquanto a moda é de fácil identificação, o cálculo da média ponderada e, principalmente, da mediana (que exige a construção mental de uma lista ordenada a partir da tabela) requer múltiplos passos e organização para evitar erros.
Gabarito
E) Z < Y < X. – Esta alternativa está correta porque, após os cálculos, encontramos os valores: Moda (Z) = 0, Mediana (Y) = 2, e Média (X) = 2,25. A relação de ordem entre eles é exatamente Z < Y < X.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e a moda desta distribuição, então”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício pede para calcularmos a média (X), a mediana (Y) e a moda (Z) do número de gols marcados e, em seguida, colocarmos esses três valores em ordem crescente para encontrar a relação correta entre eles.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é seguir três etapas: 1) Calcular a Moda (Z). 2) Calcular a Mediana (Y). 3) Calcular a Média (X). 4) Comparar os três resultados.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a tabela já está organizada de forma a facilitar o cálculo da mediana? Como a coluna “Gols marcados” está em ordem crescente, você não precisa reescrever a lista inteira, basta ir “contando” as posições.
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Moda (Mo): É o valor que aparece com maior frequência em um conjunto de dados. Em uma tabela de frequência, é o valor correspondente à maior “Quantidade de partidas”. É a medida mais fácil de se encontrar.
- Mediana (Md): É o valor central de um conjunto de dados ordenado. Para encontrar a partir de uma tabela de frequência:
- Some todas as frequências (a coluna “Quantidade de partidas”) para encontrar o número total de dados (n).
- Determine a(s) posição(ões) central(is). Se n for par, serão as posições n/2 e (n/2)+1.
- “Caminhe” pela tabela somando as frequências até encontrar em qual linha (qual valor de “Gols”) essas posições centrais se encontram.
- Média Ponderada (μ): Quando os dados estão agrupados em uma tabela de frequência, usamos a média ponderada. Multiplicamos cada valor pela sua frequência, somamos todos esses produtos e dividimos pela soma total das frequências.
Média = ( (valor₁ × freq₁) + (valor₂ × freq₂) + … ) / (freq₁ + freq₂ + … )
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos traduzir a tabela para uma lista de resultados de jogos: o time jogou várias partidas e o número de gols que ele marcou em cada uma foi anotado. A tabela resume isso. Por exemplo, a primeira linha significa que em 5 jogos, o time marcou 0 gols (os resultados foram 0, 0, 0, 0, 0). Nossa missão é calcular três “resumos” estatísticos desses resultados:
- Moda (Z): Qual foi o número de gols que mais se repetiu?
- Mediana (Y): Se colocássemos todos os resultados de gols em uma fila ordenada, qual estaria no meio?
- Média (X): Em média, quantos gols o time marcou por partida?
Depois de encontrar esses três números, basta colocá-los em ordem.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque será calcular as medidas na ordem da mais fácil para a mais complexa:
- Calcular a Moda (Z): Olhar para a coluna “Quantidade de partidas” e encontrar o maior valor. A moda será o número de gols correspondente.
- Calcular a Mediana (Y): Somar todas as partidas para achar o total (n), encontrar as posições centrais e localizar o(s) valor(es) correspondente(s).
- Calcular a Média (X): Usar a fórmula da média ponderada.
- Comparar Z, Y e X.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Racioclínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Cálculo da Moda (Z):
- Olhamos para a coluna “Quantidade de partidas”: 5, 3, 4, 3, 2, 2, 1.
- O maior valor nesta coluna é 5.
- Este valor corresponde a 0 gols marcados.
- Portanto, a Moda é Z = 0.
2. Cálculo da Mediana (Y):
- Primeiro, somamos a quantidade total de partidas (n):
n = 5 + 3 + 4 + 3 + 2 + 2 + 1 = 20 partidas
- Como n = 20 (par), a mediana será a média dos valores nas posições centrais:
- Posição 1: n / 2 = 20 / 2 = 10ª posição.
- Posição 2: (n / 2) + 1 = 10 + 1 = 11ª posição.
- Agora, vamos encontrar quais valores de gols estão nessas posições. Vamos “construir” a lista ordenada mentalmente:
- As primeiras 5 posições são o número 0 (0, 0, 0, 0, 0).
- As próximas 3 posições (6ª, 7ª, 8ª) são o número 1.
- As próximas 4 posições (9ª, 10ª, 11ª, 12ª) são o número 2.
- Conclusão: Tanto o 10º quanto o 11º termo da lista são o número 2.
- A mediana é a média entre eles:
Y = (2 + 2) / 2 = 2
3. Cálculo da Média (X):
- Usaremos a fórmula da média ponderada.
X = [ (0×5) + (1×3) + (2×4) + (3×3) + (4×2) + (5×2) + (7×1) ] / (5+3+4+3+2+2+1)
X = [ 0 + 3 + 8 + 9 + 8 + 10 + 7 ] / 20
X = 45 / 20
X = 2,25
4. Comparando os Resultados:
- X (Média) = 2,25
- Y (Mediana) = 2
- Z (Moda) = 0
Colocando em ordem crescente: 0 < 2 < 2,25.
Substituindo pelas letras: Z < Y < X.
4.2 Verificação Intermediária
Calculamos Z=0, Y=2 e X=2,25. Os valores parecem coerentes. A moda é o valor mais frequente. A mediana está “no meio” da distribuição. A média é puxada para cima pelos valores mais altos (como os jogos com 4, 5 e 7 gols).
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha no cálculo da mediana é não saber como encontrá-la a partir de uma tabela de frequência, tentando listar todos os 20 números, o que aumenta a chance de erro. Outro erro comum é, no cálculo da média, dividir a soma dos gols (0+1+2+3+4+5+7) pelo número de linhas da tabela (7), ignorando as frequências.
4.4 Fechamento e expectativa
Nossa análise resultou na ordem Z < Y < X. Vamos agora procurar a alternativa que representa essa mesma relação.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) X = Y < Z.
B) Z < X = Y.
C) Y < Z < X.
D) Z < X < Y.
E) Z < Y < X.
5.2 Justificativa Individual
- A) X = Y < Z (🔴): Incorreta. Nossos valores são Z=0, Y=2, X=2,25. A ordem e as igualdades estão erradas.
- B) Z < X = Y (🔴): Incorreta. X e Y não são iguais (2,25 ≠ 2).
- C) Y < Z < X (🔴): Incorreta. Z é o menor valor, não Y.
- D) Z < X < Y (🔴): Incorreta. Y é menor que X (2 < 2,25).
- E) Z < Y < X (🟢): Correta. Esta é exatamente a relação de ordem que encontramos: 0 < 2 < 2,25.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
O problema foi resolvido calculando-se as três medidas de tendência central. A moda foi identificada pela maior frequência. A mediana foi encontrada localizando as posições centrais na distribuição de frequência. A média foi calculada como uma média ponderada. Por fim, os três valores obtidos (Z=0, Y=2, X=2,25) foram comparados.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E), pois a relação entre as medidas é Z < Y < X.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da sequência para resolver problemas deste tipo: comece pela Moda (a mais fácil), depois vá para a Mediana (exige um pouco de atenção com as posições) e, por último, a Média (que geralmente envolve mais cálculos). Isso otimiza seu tempo e organização.
