Em canteiros de obras de construção civil é comum perceber trabalhadores realizando medidas de comprimento e de ângulos e fazendo demarcações por onde a obra deve começar ou se erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das seis estacas colocadas, três eram vértices de um triângulo retângulo e as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo, foram indicadas por letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
A) à mesma área do triângulo AMC.
B) à mesma área do triângulo BNC.
C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
D) ao dobro da área do triângulo MNC.
E) ao triplo da área do triângulo MNC.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Plana
- Propriedades de Triângulos
- Teorema da Base Média de um Triângulo (ou Semelhança de Triângulos)
Tema/Objetivo Geral:
Relações de área em um triângulo a partir da identificação de pontos médios em seus lados.
Nível da Questão
Médio – A questão é considerada de nível médio pois não pode ser resolvida com uma simples fórmula de área. É necessário o conhecimento de uma propriedade geométrica específica sobre pontos médios e suas consequências para as áreas das figuras formadas, o que exige um raciocínio mais abstrato.
Gabarito
E) ao triplo da área do triângulo MNC. – Esta alternativa está correta porque, devido às propriedades dos pontos médios, o triângulo maior ABC tem uma área quatro vezes maior que a do triângulo menor MNC. A área a ser calçada (ABMN) é a área total menos a área de MNC, resultando em três vezes a área de MNC.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Nessas condições, a área a ser calçada corresponde…”
1.2 O que está sendo pedido?
O problema pede para estabelecermos uma relação de proporção entre a área da região a ser calçada (o quadrilátero ABMN) e a área do pequeno triângulo no canto (MNC).
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é descobrir quantas vezes a área do quadrilátero ABMN é maior (ou menor) que a área do triângulo MNC.
1.4 Pergunta de Atenção
Você prestou atenção na informação mais importante do enunciado: “as outras três eram os pontos médios dos lados desse triângulo”? Sabe qual propriedade mágica essa informação revela sobre as áreas das figuras? É a chave de tudo!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Ponto Médio: É o ponto que divide um segmento de reta em duas partes de igual comprimento. No problema, N é o ponto médio de AC, M é o ponto médio de BC, e P é o ponto médio de AB.
- Teorema da Base Média: O segmento que une os pontos médios de dois lados de um triângulo (chamado de base média) é paralelo ao terceiro lado e mede a metade do comprimento desse terceiro lado. Por exemplo, o segmento MN é paralelo ao lado AB e tem metade do seu tamanho.
- A Consequência Mágica para as Áreas: Quando conectamos os três pontos médios de um triângulo, algo especial acontece: o triângulo original é dividido em quatro triângulos menores com áreas exatamente iguais.
Imagine o triângulo ABC. Ao traçar os segmentos MN, NP e PM, nós criamos quatro “mini-triângulos” dentro dele: o triângulo APN (canto superior esquerdo), o triângulo PBM (canto superior), o triângulo MNC (canto direito) e o triângulo central PMN. Todos os quatro têm a mesma área!
- Área por Subtração: A área de uma figura complexa pode ser encontrada subtraindo-se a área de uma parte menor de uma área total maior. No nosso caso:
Área (quadrilátero ABMN) = Área (triângulo ABC) – Área (triângulo MNC)
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos visualizar a cena: temos um grande terreno triangular (ABC). O pedreiro marcou os pontos médios dos lados (P, M, N). A área que precisa de concreto é o “corpo” do triângulo, a parte grande que sobra quando removemos a “pontinha” do canto direito (o triângulo MNC). Queremos saber qual a relação de tamanho entre a parte concretada e a pontinha que foi removida.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano será usar a “consequência mágica” dos pontos médios.
- Vamos estabelecer que o triângulo grande ABC é composto por 4 triângulos pequenos de área igual à de MNC.
- Vamos chamar a área de MNC de “x”. Assim, a área total de ABC será “4x”.
- Calcularemos a área do quadrilátero ABMN subtraindo a área de MNC da área total de ABC.
- Com isso, teremos a relação que o problema pede.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos aplicar nossa estratégia.
1. A Propriedade Fundamental:
O enunciado afirma que P, M e N são os pontos médios dos lados AB, BC e AC, respectivamente. Pela propriedade explicada no Passo 2, ao conectar esses pontos, o triângulo ABC é dividido em 4 triângulos de áreas iguais:
- Área(PBM) = Área(APN) = Área(MNC) = Área(PMN)
2. Atribuindo uma Variável:
Para facilitar o raciocínio, vamos dar um nome à área que servirá de referência.
Seja Área(MNC) = x
3. Expressando as Outras Áreas:
Como todos os 4 pequenos triângulos têm a mesma área, então:
- Área(PBM) = x
- Área(APN) = x
- Área(PMN) = x
4. Calculando a Área Total do Triângulo ABC:
A área total do triângulo ABC é a soma das áreas dos quatro pequenos triângulos.
Área(ABC) = Área(PBM) + Área(APN) + Área(MNC) + Área(PMN)
Área(ABC) = x + x + x + x
Área(ABC) = 4x
5. Calculando a Área a ser Calçada (Quadrilátero ABMN):
A área a ser calçada é a área do triângulo grandão ABC, com a exceção do triângulo MNC.
Área(ABMN) = Área(ABC) – Área(MNC)
Substituindo os valores que encontramos:
Área(ABMN) = 4x – x
Área(ABMN) = 3x
6. Conclusão do Raciocínio:
Nós definimos que Área(MNC) = x e descobrimos que Área(ABMN) = 3x.
Portanto, a área a ser calçada é três vezes a área do triângulo MNC.
4.2 Verificação Intermediária
A lógica é sólida. O todo (ABC) é composto por 4 partes iguais (x). A área que queremos é o todo menos uma dessas partes (4x – x), o que resulta em 3 partes (3x).
4.3 Possível armadilha
A armadilha mais comum seria pensar que, como os lados do triângulo MNC (por exemplo, MC e NC) são metade dos lados do triângulo ABC (BC e AC), a área também seria a metade. Cuidado! A área de uma figura bidimensional varia com o quadrado da proporção dos seus lados. Se os lados estão na razão de 1/2, a área estará na razão de (1/2)² = 1/4.
A visualização dos 4 triângulos iguais é uma forma intuitiva de entender essa relação sem precisar usar a fórmula de semelhança diretamente.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso resultado mostra que a área da região ABMN é o triplo da área da região MNC. Agora, vamos procurar a alternativa que expressa exatamente essa relação.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) à mesma área do triângulo AMC.
B) à mesma área do triângulo BNC.
C) à metade da área formada pelo triângulo ABC.
D) ao dobro da área do triângulo MNC.
E) ao triplo da área do triângulo MNC.
5.2 Justificativa Individual
- A) e B) (🔴): Incorretas. As áreas de AMC e BNC são metade da área do triângulo ABC (pois a mediana divide o triângulo em duas áreas iguais). A área que queremos é 3/4 da área total, não 1/2.
- C) (🔴): Incorreta. A área a ser calçada corresponde a 3/4 da área total de ABC (pois é 3x de um total de 4x), e não à metade (1/2).
- D) (🔴): Incorreta. Nosso cálculo mostrou uma relação de 3 para 1 (triplo), não de 2 para 1 (dobro).
- E) (🟢): Correta. Conforme nosso desenvolvimento, a área a ser calçada (3x) é exatamente o triplo da área do triângulo MNC (x).
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Utilizamos a propriedade fundamental de que os segmentos que unem os pontos médios dos lados de um triângulo o dividem em quatro triângulos menores de áreas idênticas. Ao definir a área de um desses triângulos (MNC) como “x”, a área total se tornou “4x” e a área desejada (ABMN) se tornou “3x”, provando a relação de triplo.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a E), pois a área a ser calçada corresponde ao triplo da área do triângulo MNC.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da regra de ouro: os três segmentos que unem os pontos médios de um triângulo o dividem em 4 triângulos menores de áreas idênticas! Essa propriedade resolve muitos problemas de geometria de forma rápida e elegante.
