Um balão atmosférico, lançado em Bauru (343 quilômetros a Noroeste de São Paulo), na noite do último domingo, caiu nesta segunda-feira em Cuiabá Paulista, na região de Presidente Prudente, assustando agricultores da região. O artefato faz parte do programa Projeto Hibiscus, desenvolvido por Brasil, França, Argentina, Inglaterra e Itália, para a medição do comportamento da camada de ozônio, e sua descida se deu após o cumprimento do tempo previsto de medição.
Disponível em: http://www.correiodobrasil.com.br. Acesso em: 02 maio 2010.
Na data do acontecido, duas pessoas avistaram o balão. Uma estava a 1,8 km da posição vertical do balão e o avistou sob um ângulo de 60º; a outra estava a 5,5 km da posição vertical do balão, alinhada com a primeira, e no mesmo sentido, conforme se vê na figura, e o avistou sob um ângulo de 30º.
Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?
A) 1,8 km
B) 1,9 km
C) 3,1 km
D) 3,7 km
E) 5,5 km
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Trigonometria no Triângulo Retângulo
- Razões Trigonométricas (Seno, Cosseno e Tangente)
Tema/Objetivo Geral:
Aplicação das razões trigonométricas para calcular uma altura desconhecida a partir de um ângulo de observação e uma distância conhecida.
Nível da Questão
Fácil – A questão é considerada fácil porque, apesar de apresentar informações sobre um segundo observador, a altura pode ser encontrada de forma direta utilizando apenas os dados do primeiro observador e uma aplicação simples da relação da tangente em um triângulo retângulo.
Gabarito
C) 3,1 km – Este valor é a altura aproximada do balão, calculada utilizando a tangente do ângulo de 60°, que relaciona a altura (cateto oposto) com a distância do observador no solo (cateto adjacente).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Qual a altura aproximada em que se encontrava o balão?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para encontrar a medida da altura do balão em relação ao solo. Na figura, essa altura é representada pelo lado vertical do triângulo da esquerda.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é calcular o valor de ‘h’ (altura) em quilômetros, usando os dados fornecidos na figura, que são as distâncias no solo e os ângulos de observação.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a figura mostra dois triângulos, mas as razões trigonométricas básicas (seno, cosseno, tangente) só se aplicam diretamente em triângulos retângulos? A altura do balão forma um ângulo de 90° com o solo, criando o triângulo retângulo que precisamos!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
Para resolver este problema, precisamos conhecer as relações trigonométricas em um triângulo retângulo.
- Triângulo Retângulo: É um triângulo que possui um ângulo reto (90°). Os lados que formam o ângulo reto são chamados de catetos, e o lado oposto ao ângulo reto é a hipotenusa.
- Cateto Oposto: O lado que está em frente ao ângulo que estamos analisando.
- Cateto Adjacente: O lado que está ao lado do ângulo que estamos analisando (e que não é a hipotenusa).
- Relação da Tangente (tan): A tangente de um ângulo é a razão (divisão) entre o comprimento do cateto oposto e o comprimento do cateto adjacente a esse ângulo.
tan(θ) = Cateto Oposto / Cateto Adjacente
Essa relação é perfeita para quando conhecemos uma distância no chão (cateto adjacente) e queremos descobrir uma altura (cateto oposto).
- Valores Notáveis: Para resolver o problema, precisamos do valor da tangente de 60°.
tan(60°) = √3 ≈ 1,73
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos simplificar a situação: temos um balão flutuando. A altura dele até o chão forma um “poste” reto (um ângulo de 90°). Uma pessoa está a 1,8 km de distância da base desse “poste” e olha para o balão com um ângulo de 60°. Nossa missão é usar essas informações para descobrir o quão alto o balão está. A informação sobre a segunda pessoa (a 3,7 km de distância da primeira) é um dado extra que pode ser usado para verificação, mas não é necessário para a solução mais rápida.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano de ataque é muito direto:
- Identificar o triângulo retângulo da esquerda na figura.
- Relacionar seus lados com o ângulo de 60°: a altura ‘h’ é o cateto oposto e a distância 1,8 km é o cateto adjacente.
- Aplicar a fórmula da tangente para montar uma equação.
- Resolver a equação para encontrar o valor de ‘h’.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Vamos aplicar nossa estratégia, focando no primeiro observador (ponto A).
1. Identificando os elementos do triângulo retângulo:
- O ângulo (θ) que conhecemos é 60°.
- O Cateto Oposto a este ângulo é a altura do balão, que chamaremos de h.
- O Cateto Adjacente a este ângulo é a distância no solo, que é 1,8 km.
2. Montando a equação com a fórmula da tangente:
tan(θ) = Cateto Oposto / Cateto Adjacente
tan(60°) = h / 1,8
3. Substituindo o valor conhecido de tan(60°):
Lembre-se que tan(60°) ≈ 1,73.
1,73 = h / 1,8
4. Resolvendo para encontrar h:
Para isolar o ‘h’, passamos o 1,8 que está dividindo para o outro lado, multiplicando.
h = 1,8 * 1,73
h = 3,114 km
O valor é aproximadamente 3,1 km.
4.2 Verificação Intermediária
Nosso cálculo resultou em h ≈ 3,114 km. Este valor é muito próximo de uma das alternativas, o que é um bom sinal. A pequena diferença se deve à aproximação que usamos para a raiz de 3.
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria se confundir com os dados do segundo observador e tentar usá-los de forma incorreta. Por exemplo, usar a distância de 3,7 km com o ângulo de 60°. Lembre-se, cada ângulo se relaciona com os lados do seu próprio triângulo. Outro erro seria confundir as fórmulas e usar seno ou cosseno, o que exigiria o cálculo da hipotenusa (a linha de visão do observador ao balão), tornando o problema mais complicado sem necessidade.
4.4 Fechamento e expectativa
Calculamos que a altura do balão é de aproximadamente 3,1 km. Agora, vamos comparar nosso resultado com as alternativas fornecidas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 1,8 km
B) 1,9 km
C) 3,1 km
D) 3,7 km
E) 5,5 km
5.2 Justificativa Individual
- A) 1,8 km (🔴): Incorreto. Este valor é a distância do observador A ao ponto diretamente abaixo do balão (o cateto adjacente), não a altura.
- B) 1,9 km (🔴): Incorreto. Este valor não corresponde a um cálculo trigonométrico correto com os dados fornecidos.
- C) 3,1 km (🟢): Correto. Este valor é a aproximação para o resultado que encontramos (3,114 km) ao calcular 1,8 * tan(60°).
- D) 3,7 km (🔴): Incorreto. Este é o valor da distância entre os dois observadores (A e B), não tem relação direta com a altura.
- E) 5,5 km (🔴): Incorreto. Este valor (1,8 + 3,7) representa a distância total do segundo observador (B) até o ponto abaixo do balão, mas não é a altura.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Para descobrir a altura do balão, focamos no triângulo retângulo formado pelo primeiro observador. Identificamos que a altura era o cateto oposto e a distância no solo era o cateto adjacente ao ângulo de 60°. Aplicamos a relação da tangente e resolvemos a equação para encontrar a altura.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a C), pois a altura aproximada do balão é de 3,1 km.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da dica de ouro da trigonometria: se um problema envolve altura (cateto oposto) e distância no chão (cateto adjacente), a função tangente é quase sempre a ferramenta certa para o trabalho
