Uma fábrica produz barras de chocolates no formato de paralelepípedos e de cubos, com o mesmo volume. As arestas da barra de chocolate no formato de paralelepípedo medem 3 cm de largura, 18 cm de comprimento e 4 cm de espessura.
Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a:
A) 5 cm.
B) 6 cm.
C) 12 cm.
D) 24 cm.
E) 25 cm.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Volume de Paralelepípedos e Cubos)
- Aritmética (Multiplicação, Radiciação – Raiz Cúbica)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Calcular a aresta de um cubo a partir de seu volume, que é igual ao volume de um paralelepípedo com dimensões conhecidas.
📊 Nível da Questão: Fácil.
Por quê? A questão envolve a aplicação direta de duas fórmulas de volume muito conhecidas e um cálculo de raiz cúbica de um número pequeno e exato. O procedimento é linear e não apresenta ambiguidades.
✅ Gabarito: Alternativa B.
Resumo: Primeiro, calculamos o volume do paralelepípedo multiplicando suas três arestas (3 × 18 × 4 = 216 cm³). Como o cubo tem o mesmo volume, sua aresta será a raiz cúbica de 216, que é 6 cm.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Analisando as características das figuras geométricas descritas, a medida das arestas dos chocolates que têm o formato de cubo é igual a…”
O que está sendo pedido?
A questão pede para encontrarmos o comprimento da aresta (do lado) da barra de chocolate que tem o formato de um cubo.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é usar as informações da barra em formato de paralelepípedo para descobrir o volume e, com esse valor, calcular a medida da aresta do cubo que tem o mesmo volume.
🧠 Pergunta de Atenção: Você se lembra qual é a grande diferença entre a fórmula do volume de um paralelepípedo qualquer e a de um cubo? E qual a relação entre elas?
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Paralelepípedo Reto-Retângulo:
- O que é: É uma figura espacial com 6 faces retangulares, como uma caixa de sapatos. Possui três dimensões: comprimento (c), largura (l) e altura/espessura (a).
- Fórmula do Volume: O espaço que ele ocupa é calculado multiplicando-se suas três dimensões.
V = comprimento × largura × altura
V = c × l × a
- Cubo:
- O que é: É um tipo especial de paralelepípedo onde todas as 6 faces são quadrados iguais e, portanto, todas as arestas (lados) têm a mesma medida. Vamos chamar essa medida de L.
- Fórmula do Volume: Como comprimento, largura e altura são todos iguais a L, a fórmula do volume é:
V = L × L × L = L³
- Raiz Cúbica (∛):
- O que é: É a operação inversa da potenciação ao cubo. A raiz cúbica de um número X é o número que, multiplicado por si mesmo três vezes, resulta em X.
- Exemplo: A raiz cúbica de 8 (∛8) é 2, porque 2 × 2 × 2 = 8.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que a fábrica de chocolate faz duas barras com a mesma quantidade de chocolate (mesmo volume). A primeira é uma barra retangular, comprida (uma “caixa de sapatos”). A segunda é um bloquinho perfeitamente cúbico. Nós temos as medidas da barra retangular e precisamos descobrir o tamanho do lado do cubo. O plano é simples: primeiro, calculamos a quantidade de chocolate na barra retangular. Depois, usamos essa mesma quantidade para descobrir qual deve ser o tamanho do lado de um cubo que use todo esse chocolate.
Estratégia Geral 🗺️
- Calcular o volume do chocolate em formato de paralelepípedo.
- Igualar esse volume à fórmula do volume do cubo (V = L³).
- Resolver a equação para encontrar o valor de L (a aresta do cubo).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
- Calcular o Volume do Paralelepípedo:
As dimensões dadas são:- Largura (l) = 3 cm
- Comprimento (c) = 18 cm
- Espessura (a) = 4 cm
Usamos a fórmula V_paralelepípedo = c × l × a:
V = 18 × 3 × 4
V = 54 × 4
V = 216 cm³- Verificação Intermediária: A quantidade de chocolate em cada barra é de 216 centímetros cúbicos.
- Utilizar a Informação Chave:
O enunciado diz que os dois formatos têm o mesmo volume.
Portanto, V_cubo = V_paralelepípedo = 216 cm³. - Calcular a Aresta do Cubo:
A fórmula do volume do cubo é V_cubo = L³, onde L é a medida da aresta.
Sabemos que V_cubo = 216, então:
L³ = 216Para encontrar L, precisamos calcular a raiz cúbica de 216:
L = ∛216Podemos encontrar a raiz por tentativa ou fatoração. Vamos testar as alternativas ou números conhecidos:- 5³ = 5 × 5 × 5 = 125 (Muito baixo)
- 6³ = 6 × 6 × 6 = 36 × 6 = 216 (Exato!)
Portanto, a aresta do cubo mede 6 cm.
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha seria um erro de cálculo na multiplicação ou na raiz cúbica. Outro erro possível, embora menos provável, seria confundir as fórmulas, por exemplo, somando as arestas do paralelepípedo (3+18+4 = 25), o que levaria erroneamente à alternativa E.
Fechamento e Expectativa
O cálculo nos levou a uma aresta de 6 cm. Agora, vamos conferir as alternativas.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) 5 cm. (🔴) Incorreta. Um cubo de 5 cm de aresta teria um volume de 125 cm³.
B) 6 cm. (🟢) Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo (6³ = 216 cm³).
C) 12 cm. (🔴) Incorreta. Um cubo de 12 cm de aresta teria um volume muito maior (1728 cm³).
D) 24 cm. (🔴) Incorreta.
E) 25 cm. (🔴) Incorreta. Provavelmente resultado de uma confusão, como somar as arestas do paralelepípedo.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema pedia a aresta de um cubo com volume idêntico ao de um paralelepípedo de arestas 3 cm, 18 cm e 4 cm. Primeiro, calculamos o volume do paralelepípedo, que resultou em 216 cm³. Em seguida, usamos a fórmula do volume do cubo (V = L³) e igualamos a 216. Resolvendo a equação L³ = 216, encontramos que a aresta L é a raiz cúbica de 216, que é igual a 6 cm.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a B.
Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se da sequência para problemas de “volumes iguais”: 1. Calcule o volume da figura conhecida. 2. Use esse valor na fórmula da figura desconhecida. 3. Resolva para encontrar a medida pedida.
