Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram realizados com bovinos, envolvendo três tipos de bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os bebedouros 1 e 2 têm a forma de um tronco de cone circular reto, de altura igual a 60 cm, e diâmetro da base superior igual a 120 cm e 60 cm, respectivamente. O bebedouro 3 é um semicilindro, com 30 cm de altura, 100 cm de comprimento e 60 cm de largura. Os três recipientes estão ilustrados na figura.
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Geometria Espacial (Cilindros, Planificação de Sólidos)
- Geometria Plana (Retângulos, Semicírculos, Perímetro da Circunferência)
🎯 Tema/Objetivo Geral: Identificar a planificação correta de um semicilindro, analisando a forma e as dimensões de suas partes constituintes.
📊 Nível da Questão: Médio.
Por quê? A questão exige a visualização espacial de um objeto tridimensional e sua “desmontagem” em figuras planas. A principal dificuldade está em entender como a superfície lateral curva de um semicilindro se torna um retângulo na planificação e, crucialmente, como calcular uma das dimensões desse retângulo, que corresponde ao perímetro do semicírculo da base.
✅ Gabarito: Alternativa E.
Resumo: O bebedouro 3 é um semicilindro. Sua planificação consiste em duas bases em forma de semicírculo e uma superfície lateral retangular. As dimensões dessa superfície são o comprimento do bebedouro (100 cm) e o perímetro de uma das bases semicirculares. A alternativa E é a única que apresenta as formas corretas (dois semicírculos e um retângulo) com as dimensões proporcionais.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual das figuras a seguir representa uma planificação para o bebedouro 3?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para identificarmos qual das cinco figuras bidimensionais (A, B, C, D ou E) representa a “versão desmontada e esticada” do bebedouro 3.
Objetivo Cristalino 💎
Nosso objetivo é decompor mentalmente o bebedouro 3 em suas superfícies planas (as “caras” do objeto) e, em seguida, encontrar a alternativa que mostra todas essas superfícies com as formas e dimensões corretas.
🧠 Pergunta de Atenção: Se você pegar o rótulo de uma lata de ervilha (um cilindro) e o descolar, qual será o formato dele? E o que acontece se você só tiver metade da lata? Pensar nisso é a chave para visualizar a planificação!
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Planificação de um Sólido: É o processo de “abrir” um objeto tridimensional e representá-lo como uma única figura plana, formada por todas as suas superfícies conectadas.
- Semicilindro:
- O que é: É literalmente metade de um cilindro, cortado ao longo de seu comprimento.
- Partes constituintes:
- Duas bases: Que são semicírculos.
- Uma superfície lateral: Que é a parte curva. Ao ser esticada, ela se torna um retângulo.
- Dimensões da Planificação do Semicilindro (Bebedouro 3):
- Dados do problema:
- Comprimento (que será a altura do cilindro se o colocarmos “em pé”): h = 100 cm.
- Largura (que é o diâmetro da base do cilindro original): d = 60 cm.
- Altura (que é o raio da base do cilindro original): r = 30 cm.
- Análise das partes planificadas:
- Bases: Serão dois semicírculos com diâmetro de 60 cm (ou raio de 30 cm).
- Superfície Lateral Retangular: Terá dois lados.
- Um lado é o comprimento do bebedouro: 100 cm.
- O outro lado corresponde ao perímetro da base semicircular. O perímetro de um semicírculo é a metade do perímetro da circunferência (πr) mais o diâmetro (d). No entanto, o bebedouro é aberto (sem tampa na parte plana), então a superfície lateral se conecta apenas à parte curva. Portanto, o comprimento desse lado é a metade do perímetro da circunferência: C = π . r = π . 30 ≈ 94,2 cm.
- Dados do problema:
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine o bebedouro 3 como uma calha de chuva. Se a gente pudesse desdobrá-lo, teríamos três peças: as duas “tampas” das pontas, que são em forma de meia-lua (semicírculos), e a parte longa e curvada, que, ao ser esticada, vira um tapete retangular. Nossa missão é encontrar a figura que mostra essas três peças (duas meia-luas e um retângulo) com os tamanhos corretos.
Estratégia Geral 🗺️
- Filtrar pelas formas: Primeiro, vamos eliminar todas as alternativas que não mostram as formas corretas (dois semicírculos e um retângulo).
- Analisar as dimensões: Entre as alternativas restantes, vamos analisar as medidas para ver qual delas representa corretamente as proporções do bebedouro 3.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
- Identificar as Formas da Planificação:
- O bebedouro 3 é um semicilindro.
- Suas extremidades (bases) são semicírculos.
- Sua superfície principal (lateral) é uma chapa curvada que, ao ser planificada, vira um retângulo.
- Portanto, a planificação deve conter dois semicírculos e um retângulo.
- Primeiro Filtro (Formas):
- Alternativa A: Tem um setor circular, não um retângulo. Eliminada.
- Alternativa B: Tem um trapézio. Eliminada.
- Alternativa C: Tem um retângulo, mas as bases são círculos inteiros. Eliminada.
- Alternativas D e E: Ambas mostram um retângulo e dois semicírculos (embora a D só mostre um visível). Elas são as candidatas.
- Analisar as Dimensões e Proporções (Filtro Final):
- Identificar as medidas no bebedouro 3:
- Comprimento do retângulo = 100 cm.
- Diâmetro dos semicírculos = 60 cm.
- Largura do retângulo = Perímetro da parte curva do semicírculo = π . r = 30π ≈ 94,2 cm.
- Análise da Alternativa D:
- Mostra um retângulo com lados 60 cm e 100 cm.
- Mostra um semicírculo com diâmetro de 60 cm.
- O problema é que o lado do retângulo que se conecta ao semicírculo deveria ter a medida do perímetro curvo (≈94,2 cm), não 100 cm. E o outro lado deveria ser 100 cm, não 60 cm. As dimensões estão trocadas e incorretas.
- Análise da Alternativa E:
- Mostra um retângulo com um lado medindo 100 cm (o comprimento).
- O outro lado do retângulo não tem a medida explícita, mas ele se encaixa no perímetro do semicírculo.
- Os semicírculos têm diâmetro de 60 cm.
- Crucialmente, a figura mostra o lado do retângulo que mede 100 cm como o mais longo, e o lado que se conecta ao semicírculo como o mais curto (largura do retângulo ≈ 94,2 cm, que é menor que 100 cm). As proporções estão corretas. O lado do retângulo que mede 100 cm é perpendicular ao diâmetro do semicírculo.
- Identificar as medidas no bebedouro 3:
A Armadilha Comum 🚨
A principal armadilha é pensar que a largura do retângulo da planificação é igual ao diâmetro do semicírculo (60 cm). Isso é falso. A largura do retângulo deve ser igual ao comprimento do arco do semicírculo (π . r), que é um valor bem diferente. Muitas pessoas erram ao não “desenrolar” mentalmente a superfície curva.
Fechamento e Expectativa
A análise nos leva a procurar uma figura com dois semicírculos de diâmetro 60 e um retângulo de dimensões 100 x (aproximadamente 94,2). A alternativa E é a que melhor representa essa configuração.
Passo 5: Análise das Alternativas
A) (🔴) Incorreta. As formas estão erradas. A superfície lateral de um cilindro ou semicilindro planifica em um retângulo, não em um setor circular.
B) (🔴) Incorreta. As formas estão erradas. Isso parece a planificação de um tronco de cone, como os bebedouros 1 e 2.
C) (🔴) Incorreta. As bases deveriam ser semicírculos, não círculos inteiros.
D) (🔴) Incorreta. As dimensões do retângulo estão trocadas e não correspondem à lógica da planificação. O lado de 100 cm deveria ser paralelo ao diâmetro do semicírculo, e o lado de 60 cm não corresponde a nenhuma medida da superfície lateral.
E) (🟢) Correta. Apresenta as formas corretas: um retângulo e dois semicírculos. As dimensões estão dispostas corretamente: o comprimento do retângulo (100 cm) é o lado maior, e os semicírculos (com diâmetro de 60 cm) se encaixam nos lados menores, que correspondem ao perímetro de suas curvas.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
A planificação do bebedouro 3, um semicilindro, é composta por três partes: sua superfície lateral curva, que se torna um retângulo, e suas duas bases, que são semicírculos. Ao analisar as alternativas, eliminamos A, B e C pelas formas incorretas. Entre D и E, a alternativa E é a única que apresenta as dimensões e proporções corretas, onde o lado maior do retângulo corresponde ao comprimento do bebedouro (100 cm) e os lados menores, onde os semicírculos se conectam, correspondem ao perímetro da parte curva de cada base.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão 🔍
Lembre-se: ao planificar um cilindro (ou parte dele), a superfície lateral vira um retângulo. Um dos lados desse retângulo é a altura/comprimento do cilindro, e o outro é o perímetro da curva da base na qual ele estava “enrolado”.
