Atualmente existem muitos aplicativos de fazendas virtuais que, apesar de críticas, possuem uma enorme quantidade de usuários. Embora apresentem algumas diferenças de funcionamento, as fazendas virtuais possuem a mesma concepção: cada vez que o usuário cuida de sua fazenda ou da de seus amigos, ganha pontos, e, quanto mais pontos acumula, maior é seu nível de experiência.
Em um aplicativo de fazenda virtual, o usuário precisa de 1 000 pontos para atingir o nível 1. Acumulando mais 1 200 pontos, atinge o nível 2; acumulando mais 1 400 pontos, atinge o nível 3 e assim por diante, sempre com esse padrão.
Um usuário que está no nível 15 de experiência acumulou:
A) 3 800 pontos.
B) 15 200 pontos.
C) 32 200 pontos.
D) 35 000 pontos.
E) 36 000 pontos.
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Progressão Aritmética – PA, Termo Geral e Soma dos Termos)
- Interpretação de Problemas
🎯 Tema/Objetivo Geral: Utilização das fórmulas de Progressão Aritmética para calcular a pontuação necessária para atingir um nível específico e a pontuação total acumulada.
📊 Nível da Questão: Médio.
- Por quê? A questão exige a identificação do padrão como uma Progressão Aritmética e a aplicação correta de duas fórmulas distintas: a do termo geral e a da soma. Um erro comum é calcular apenas o termo geral (pontos para passar do nível 14 para o 15) e confundi-lo com o total acumulado.
✅ Gabarito: Alternativa E.
- Resumo: A quantidade de pontos necessária para passar de um nível para o outro forma uma Progressão Aritmética. Primeiro, calcula-se quantos pontos são necessários para passar do nível 14 para o 15 (o 15º termo da PA). Em seguida, calcula-se a soma de todos os pontos necessários desde o início até atingir o nível 15 (a soma dos 15 primeiros termos da PA).
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Um usuário que está no nível 15 de experiência acumulou…”
O que está sendo pedido?
A questão pede o total de pontos acumulados por um jogador que acabou de atingir o nível 15. Isso significa que precisamos somar os pontos necessários para atingir o nível 1, mais os pontos para atingir o nível 2, e assim por diante, até o nível 15.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é:
- Identificar que a pontuação necessária para subir de nível forma uma Progressão Aritmética (PA).
- Determinar os parâmetros dessa PA (primeiro termo a₁ e a razão r).
- Calcular a soma dos 15 primeiros termos dessa PA.
🧠 Cuidado com a pegadinha! A pergunta não é “quantos pontos são necessários para passar do nível 14 para o 15?”, mas sim “quantos pontos ele tem no total?”. Isso exige uma soma, e não apenas o cálculo de um termo isolado.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Progressão Aritmética (PA): É uma sequência onde cada termo, a partir do segundo, é a soma do anterior com uma constante (a razão r).
- Termo Geral da PA: aₙ = a₁ + (n – 1) . r
- Esta fórmula calcula o valor de um termo específico na posição n.
- Soma dos Termos de uma PA: Sₙ = (a₁ + aₙ) . n / 2
- Esta fórmula calcula a soma de todos os termos desde a₁ até aₙ. É exatamente o que precisamos para encontrar os “pontos acumulados”.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Imagine que o jogo é uma escada.
- Para subir o 1º degrau (atingir o nível 1), você precisa de 1.000 pontos.
- Para subir o 2º degrau (do nível 1 para o 2), precisa de mais 1.200 pontos.
- Para subir o 3º degrau (do nível 2 para o 3), precisa de mais 1.400 pontos.
Percebe-se que a cada nível, a “escada” fica 200 pontos mais alta.
A pergunta é: uma pessoa que acabou de subir o 15º degrau, quantos pontos ela juntou no total, desde o início?
Estratégia Geral 🗺️
- Identificar os parâmetros da PA (a₁, r, n).
- Como a fórmula da soma (Sₙ) precisa do último termo (aₙ), vamos primeiro calcular a₁₅ usando a fórmula do termo geral.
- Com a₁₅ em mãos, vamos usar a fórmula da soma para encontrar o total acumulado (S₁₅).
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Identificar a Progressão Aritmética:
- A sequência de pontos necessários para passar a cada nível é:
- Para atingir o Nível 1 (a₁): 1.000
- Para atingir o Nível 2 (a₂): 1.200
- Para atingir o Nível 3 (a₃): 1.400
- A sequência é: 1000, 1200, 1400, …
- Primeiro termo (a₁): 1.000
- Razão (r): 1200 – 1000 = 200
- Número de termos (n): queremos saber o acumulado ao atingir o nível 15, então n = 15.
2. Calcular o 15º termo (a₁₅):
Precisamos saber quantos pontos são necessários para passar do nível 14 para o 15. Usamos a fórmula do termo geral:
- aₙ = a₁ + (n – 1) . r
- a₁₅ = 1000 + (15 – 1) . 200
- a₁₅ = 1000 + 14 200
- a₁₅ = 1000 + 2800
- a₁₅ = 3.800 pontos.
- (Este é o valor da Alternativa A, uma armadilha para quem para aqui).
3. Calcular a Soma dos 15 termos (S₁₅):
Agora que sabemos o primeiro e o último termo, podemos calcular o total acumulado.
- Sₙ = (a₁ + aₙ) . n / 2
- S₁₅ = (1000 + 3800) . 15 / 2
- S₁₅ = 4800 . 15 / 2
- S₁₅ = 72000 / 2
- S₁₅ = 36.000 pontos.
O total de pontos acumulados por um jogador que atingiu o nível 15 é de 36.000.
Possível armadilha 🚨
Como já mencionado, a principal armadilha é a Alternativa A (3.800 pontos). Este valor representa apenas a última parcela de pontos necessários para subir de nível, e não a soma acumulada desde o início, que é o que a questão pede.
Nosso cálculo nos levou a um total de 36.000 pontos.
Passo 5: Análise das Alternativas
🟡 A) 3 800 pontos. A que mais confunde. Incorreta. Este é o valor do 15º termo da PA (a₁₅), ou seja, os pontos necessários para ir do nível 14 ao 15, mas não é o total acumulado.
🔴 B) 15 200 pontos. Incorreta.
🔴 C) 32 200 pontos. Incorreta. Este seria o resultado da soma se o a₁₅ fosse o total (36.000 – 3.800).
🔴 D) 35 000 pontos. Incorreta.
🟢 E) 36 000 pontos. Correta. Corresponde exatamente ao nosso cálculo da soma dos 15 primeiros termos da PA (S₁₅).
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema descreve uma sequência de pontuações que forma uma Progressão Aritmética (PA) com primeiro termo a₁ = 1000 e razão r = 200. A questão pede o total de pontos acumulados ao atingir o nível 15, o que corresponde à soma dos 15 primeiros termos da PA (S₁₅). Para usar a fórmula da soma, primeiro calculamos o 15º termo (a₁₅) pela fórmula do termo geral, encontrando a₁₅ = 3.800. Em seguida, aplicamos a fórmula da soma: S₁₅ = (a₁ + a₁₅) . 15 / 2 = (1000 + 3800) . 15 / 2, o que resulta em 36.000 pontos.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a E.
Resumo Final para Revisão
Em problemas de PA, leia com atenção para diferenciar o que é pedido:
- “O valor do n-ésimo termo” → Use a fórmula do Termo Geral (aₙ).
- “O total acumulado“, “a soma de todos” → Use a fórmula da Soma dos Termos (Sₙ).
