O equilíbrio na conta dos saltos
A expressão desenvolvida por cientistas ingleses relaciona as variáveis que influem na altura dos sapatos femininos.
Tal expressão é dada por
onde A é a altura do salto, Q é um coeficiente e T o tamanho do sapato. O coeficiente Q depende de diversas variáveis, entre as quais, o impacto que o salto deve provocar nas pessoas que o vejam em uso, que pode valer de zero a 1.
Disponível em: http://revistaescola.abril.com.br. Acesso em: abr. 2010 (adaptado).
Júlia construiu corretamente o gráfico que revela o desenvolvimento da função citada no texto, considerando o coeficiente Q = 1.
Dos gráficos apresentados, fora de escala, qual foi o construído por Júlia?
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Função do 1º Grau (Função Afim)
- Interpretação de Gráficos
- Coeficiente Linear e Angular
Tema/Objetivo Geral: Relação entre a expressão algébrica de uma função do 1º grau e sua representação gráfica.
Nível da Questão
Fácil – A questão exige apenas a substituição de um valor na função e a identificação de características básicas de uma reta (onde ela começa e um ponto de passagem). Não há manipulações algébricas complexas ou conceitos avançados envolvidos.
Gabarito
D) (Gráfico de uma reta que começa em A=12 e passa por T=8, A=15) – A alternativa está correta. Ao substituir Q=1 na função, obtemos A = 12 + (3/8)T, que é uma função do 1º grau (uma reta) que corta o eixo A em 12 e passa pelo ponto (8, 15).
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Júlia construiu corretamente o gráfico que revela o desenvolvimento da função citada no texto, considerando o coeficiente Q = 1. Dos gráficos apresentados, fora de escala, qual foi o construído por Júlia?”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos pede para encontrar, entre as cinco opções, o gráfico que representa a fórmula da altura do salto (A) em função do tamanho do sapato (T), quando o coeficiente Q vale 1.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é simplificar a função dada usando Q=1 e, a partir da nova função, identificar as características do seu gráfico (se é uma reta ou curva, onde começa, etc.) para escolher a alternativa correta.
1.4 Pergunta de Atenção
Você lembrou de verificar qual é o tipo de função que estamos analisando? Saber se o gráfico é uma reta ou uma curva já elimina várias alternativas de cara!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
Para resolver esta questão, precisamos conhecer a Função do 1º Grau (ou Função Afim).
- Forma Geral: É toda função que pode ser escrita como y = ax + b (ou, no nosso caso, A = aT + b), onde ‘a’ e ‘b’ são números reais e ‘a’ é diferente de zero.
- O gráfico de uma função do 1º grau é sempre uma linha reta.
- Coeficiente Angular (a): É o número que multiplica a variável (no nosso caso, ‘T’). Ele define a inclinação da reta. Se ‘a’ for positivo, a reta é crescente (sobe da esquerda para a direita). Se for negativo, é decrescente.
- Coeficiente Linear (b): É o termo independente, o número que fica “sozinho”. Ele nos diz o ponto exato onde a reta corta o eixo vertical (o eixo y, ou no nosso caso, o eixo A). Este é o valor da função quando a variável é zero (T=0).
- Exemplo do cotidiano: A conta de um táxi. Há um valor fixo que você paga só por entrar no carro (a “bandeirada”, que seria o coeficiente linear ‘b’) e um valor que aumenta a cada quilômetro rodado (o valor por km, que seria o coeficiente angular ‘a’).
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Imagine que a fórmula A = Q×(12 + 3T/8) é a “regra” para definir a altura ideal (A) de um salto alto, baseado no tamanho do sapato (T). A letra Q é um “fator de estilo” que, no caso da Júlia, ela decidiu que seria 1. Nossa tarefa é pegar essa regra com Q=1 e desenhar o gráfico que mostra como a altura do salto aumenta conforme o tamanho do sapato aumenta.
3.2 Estratégia Geral
Nosso plano será simples e direto:
- Substituir o valor Q = 1 na fórmula original.
- Simplificar a expressão para ver com que tipo de função estamos lidando.
- Identificar duas informações cruciais: o coeficiente linear (onde a reta começa no eixo A) e um outro ponto qualquer do gráfico (usando um valor de T que aparece nas alternativas, como T=8).
- Procurar o gráfico que corresponda a essas duas informações.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
1. Substituir Q = 1 na função:
A função original é: A = Q × (12 + 3T / 8)
Substituindo Q por 1:
A = 1 × (12 + 3T / 8)
A = 12 + 3T / 8
2. Reorganizar para o formato padrão (A = aT + b):
Vamos apenas inverter a ordem para ficar mais claro:
A = (3/8)T + 12
3. Análise da Função:
Esta é uma função do 1º grau! Isso significa que o gráfico deve ser uma linha reta. Com essa informação, já podemos eliminar as alternativas A e E, que são curvas.
4. Encontrar o Coeficiente Linear (o ponto inicial):
O coeficiente linear (‘b’) é 12. Isso significa que quando T = 0, o valor de A é 12.
Graficamente, a reta deve começar no ponto 12 do eixo A.
5. Encontrar um segundo ponto para confirmar:
Todos os gráficos mostram um ponto para T = 8. Vamos calcular o valor de A quando T = 8 na nossa função:
A = (3/8) * T + 12
A = (3/8) * 8 + 12
A = 3 + 12
A = 15
Isso nos diz que a reta deve passar pelo ponto (T=8, A=15).
4.2 Verificação Intermediária
Nossos cálculos nos deram duas certezas: o gráfico é uma reta que passa pelos pontos (0, 12) e (8, 15).
4.3 Possível armadilha
A principal armadilha seria olhar a fórmula original com a fração e a multiplicação e achar que se trata de uma função complexa ou não linear. Ao substituir Q=1, a função se revela uma simples reta, um passo crucial que simplifica toda a análise.
4.4 Fechamento e expectativa
Estamos procurando um gráfico que seja uma linha reta, que comece no valor 12 do eixo vertical (A) e passe pelo ponto onde T é 8 e A é 15.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) Gráfico de uma curva que começa em A=12.
B) Gráfico de uma reta que começa em A=12 e passa por (8, 24).
C) Gráfico de uma reta que começa em A=6 e passa por (8, 12).
D) Gráfico de uma reta que começa em A=12 e passa por (8, 15).
E) Gráfico de uma curva que começa em A=12.
5.2 Justificativa Individual
- A) (🔴) Incorreta. É uma curva, mas nossa função é do 1º grau, cujo gráfico é uma reta.
- B) (🔴) Incorreta. Apesar de ser uma reta e começar no ponto correto (A=12), ela passa pelo ponto (8, 24), enquanto nosso cálculo mostrou que deveria passar por (8, 15).
- C) (🔴) Incorreta. É uma reta, mas seu ponto inicial (coeficiente linear) é 6, e o correto é 12.
- D) (🟢) Correta. Este gráfico preenche todos os nossos requisitos: é uma linha reta, começa no ponto A=12 (quando T=0) e passa exatamente pelo ponto (8, 15) que calculamos.
- E) (🔴) Incorreta. Assim como a alternativa A, é uma curva, o que não corresponde à nossa função linear.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Ao substituir Q=1 na expressão, identificamos uma função do 1º grau. Em seguida, determinamos dois pontos-chave dessa função: o intercepto no eixo A (ponto 0,12) e um ponto de passagem (8,15), o que foi suficiente para escolher o único gráfico que correspondia a essas características.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a D.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Para conectar uma função afim (y = ax + b) ao seu gráfico, lembre-se sempre da dupla verificação: ‘b’ é onde a reta corta o eixo Y, e ‘a’ indica sua inclinação. Encontrar o ponto de partida (‘b’) já elimina muitas opções
