Considere que o esquema represente uma trilha poligonal que Carlos deve percorrer, partindo do ponto A até chegar ao ponto M.
Sabendo que o segmento AB possui 11 m de comprimento e, a partir desse, o comprimento de cada segmento seguinte possui um metro a menos que o comprimento do segmento anterior, quantos metros Carlos terá caminhado ao percorrer toda a trilha?
A) 176
B) 121
C) 111
D) 66
E) 65
Resolução em Texto
📚 Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Matemática (Progressão Aritmética – PA, Soma dos Termos de uma PA)
- Interpretação de Problemas e Esquemas Visuais
🎯 Tema/Objetivo Geral: Aplicação da fórmula da soma dos termos de uma Progressão Aritmética para calcular a distância total de um percurso.
📊 Nível da Questão: Fácil.
- Por quê? A questão descreve uma sequência numérica que é claramente uma Progressão Aritmética de razão -1. A identificação dos parâmetros (primeiro termo, último termo, número de termos) é direta, e a aplicação da fórmula da soma da PA é um procedimento padrão.
✅ Gabarito: Alternativa D.
- Resumo: O percurso é formado por 11 segmentos cujos comprimentos formam uma Progressão Aritmética decrescente, começando em 11 metros e terminando em 1 metro. A distância total percorrida é a soma dos termos dessa PA, que pode ser calculada facilmente pela fórmula S = (a₁ + aₙ) . n / 2.
Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
Transcrição Essencial 📌
“Sabendo que o segmento AB possui 11 m […] e, a partir desse, o comprimento de cada segmento seguinte possui um metro a menos que o comprimento do segmento anterior, quantos metros Carlos terá caminhado ao percorrer toda a trilha?”
O que está sendo pedido?
A questão pede para calcularmos o comprimento total da trilha, que é a soma dos comprimentos de todos os segmentos, de AB até LM.
Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é:
- Listar os comprimentos de todos os segmentos da trilha.
- Identificar que essa lista forma uma Progressão Aritmética (PA).
- Calcular a soma de todos os termos dessa PA.
🧠 O primeiro passo é descobrir quantos segmentos existem no total. Podemos contar as letras na ordem do percurso: A→B, B→C, C→D… até L→M.
Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdo Necessários
Definição de Termos 🔖
- Progressão Aritmética (PA): É uma sequência numérica em que cada termo, a partir do segundo, é obtido somando-se uma constante (chamada razão r) ao termo anterior.
- Neste problema, a razão é negativa (r = -1), pois cada segmento é 1 metro menor que o anterior.
- Soma dos Termos de uma PA: A fórmula para calcular a soma (Sₙ) dos n primeiros termos de uma PA é:
- Sₙ = (a₁ + aₙ) . n / 2
- Onde:
- Sₙ é a soma total.
- a₁ é o primeiro termo da sequência.
- aₙ é o último termo da sequência.
- n é o número total de termos.
Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
Contextualização Simplificada 💬
Carlos vai fazer uma caminhada em uma trilha que parece um caracol quadrado. O primeiro pedaço da trilha tem 11 metros. O segundo tem 10 metros, o terceiro tem 9, e assim por diante, diminuindo 1 metro a cada pedaço, até o último segmento. A pergunta é: qual a distância total que ele vai andar?
Estratégia Geral 🗺️
- Identificar todos os parâmetros da PA: a₁, aₙ e n.
- Substituir esses valores na fórmula da soma da PA.
- Calcular o resultado.
Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio
Passo a Passo Detalhado 👣
1. Listar os Segmentos e seus Comprimentos:
- A sequência dos segmentos é: AB, BC, CD, DE, EF, FG, GH, HI, IJ, JL, LM.
- Vamos contar: são 11 segmentos. Portanto, n = 11.
- O primeiro segmento (AB) tem 11 m. Portanto, a₁ = 11.
- Cada segmento seguinte tem 1 m a menos. Vamos listar os comprimentos:
11, 10, 9, 8, 7, 6, 5, 4, 3, 2, 1 - O último segmento (LM) tem 1 m. Portanto, a₁₁ = 1.
2. Identificar os Parâmetros da PA:
- Primeiro termo (a₁): 11
- Último termo (a₁₁): 1
- Número de termos (n): 11
3. Aplicar a Fórmula da Soma da PA:
- Sₙ = (a₁ + aₙ) . n / 2
- S₁₁ = (11 + 1) . 11 / 2
- S₁₁ = (12) . 11 / 2
- S₁₁ = 132 / 2
- S₁₁ = 66 metros
Verificação Intermediária (Método “Gauss”)
Podemos somar os pares de extremos:
- 11 + 1 = 12
- 10 + 2 = 12
- 9 + 3 = 12
- 8 + 4 = 12
- 7 + 5 = 12
Temos 5 pares que somam 12, e o termo central, que é 6. - Soma = (5 . 12) + 6 = 60 + 6 = 66.
O cálculo está correto.
Possível armadilha 🚨
A principal armadilha seria errar a contagem do número de segmentos (n). Se alguém contasse 12 ou 10 segmentos, o resultado final estaria errado.
Nosso cálculo nos levou a uma distância total de 66 metros.
Passo 5: Análise das Alternativas
🔴 A) 176
Incorreta.
🔴 B) 121
Incorreta. Este seria o resultado de 11 . 11.
🔴 C) 111
Incorreta.
🟢 D) 66
Correta. Corresponde exatamente ao resultado da soma da PA.
🔴 E) 65
Incorreta.
Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
Resumo do Raciocínio 📝
O problema descreve um percurso composto por 11 segmentos de reta. O comprimento desses segmentos forma uma Progressão Aritmética (PA) decrescente, cujo primeiro termo é a₁ = 11 m e o último é a₁₁ = 1 m. Para encontrar a distância total percorrida, calculamos a soma dos 11 termos dessa PA usando a fórmula Sₙ = (a₁ + aₙ) . n / 2. Substituindo os valores, temos S₁₁ = (11 + 1) . 11 / 2, o que resulta em 12 . 11 / 2 = 66 metros.
Gabarito Reafirmado 🏅
A alternativa correta é a D.
Resumo Final para Revisão
Sempre que um problema descrever uma sequência onde a diferença entre os termos consecutivos é constante, você está diante de uma Progressão Aritmética. A fórmula da soma (primeiro + último) * quantidade / 2 é uma ferramenta poderosa para resolver esses problemas rapidamente.
