Uma maneira muito útil de se criar belas figuras decorativas utilizando a matemática é pelo processo de autossemelhança, uma forma de se criar fractais. Informalmente, dizemos que uma figura é autossemelhante se partes dessa figura são semelhantes à figura vista como um todo. Um exemplo clássico é o Carpete de Sierpinski, criado por um processo recursivo, descrito a seguir:
• Passo 1: Considere um quadrado dividido em nove quadrados idênticos (Figura 1). Inicia-se o processo removendo o quadrado central, restando 8 quadrados pretos (Figura 2).
• Passo 2: Repete-se o processo com cada um dos quadrados restantes, ou seja, divide-se cada um deles em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um, restando apenas os quadrados pretos (Figura 3).
• Passo 3: Repete-se o passo 2.
Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles.
O número de quadrados pretos restantes nesse momento é
A) 64.
B) 512.
C) 568.
D) 576.
E) 648.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão
- Progressão Geométrica (PG)
- Potenciação
- Interpretação de Sequências Lógicas
Tema/Objetivo Geral:
Cálculo do número de elementos em uma etapa específica de um processo recursivo (fractal), identificando o padrão de crescimento.
Nível da Questão
Fácil/Médio – A questão é fácil se o aluno perceber rapidamente o padrão multiplicativo a cada passo. Torna-se de nível médio se o aluno se perder na contagem visual e não conseguir formalizar o padrão como uma progressão geométrica ou uma potência. A chave é entender que cada quadrado preto se torna um “pai” de 8 novos quadrados pretos na etapa seguinte.
Gabarito
Alternativa B) – Esta alternativa está correta. Após três etapas do processo, o número de quadrados pretos é 8³, que resulta em 512.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial
“Admita que esse processo seja executado 3 vezes, ou seja, divide-se cada um dos quadrados pretos da Figura 3 em 9 quadrados idênticos e remove-se o quadrado central de cada um deles. O número de quadrados pretos restantes nesse momento é…”
1.2 O que está sendo pedido?
O exercício nos descreve um processo de construção de um fractal (o Carpete de Sierpinski) e pede para calcularmos quantos quadrados pretos existirão após a terceira iteração (ou “Passo 3”) desse processo.
1.3 Objetivo Cristalino
Nosso objetivo é identificar o padrão matemático que governa o aumento do número de quadrados pretos a cada passo e aplicar esse padrão para encontrar o total na terceira etapa.
1.4 Pergunta de Atenção
Você percebeu que a cada passo a quantidade de quadrados pretos é multiplicada por um valor constante? Essa é a característica principal de uma Progressão Geométrica (PG). Identificar essa “razão” é o segredo para resolver o problema sem ter que contar um por um!
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas
- Processo Recursivo (ou Iterativo):
- Definição: É um processo onde a mesma regra é aplicada repetidamente. O resultado de uma etapa serve como ponto de partida para a próxima. É assim que os fractais são construídos.
- Progressão Geométrica (PG):
- Definição: É uma sequência de números onde cada termo, a partir do segundo, é o resultado da multiplicação do termo anterior por uma constante chamada “razão” (q).
- Fórmula do Termo Geral: a_n = a_1 * q^(n-1)
- a_n: termo que queremos encontrar.
- a_1: primeiro termo da sequência.
- q: razão da PG.
- n: posição do termo na sequência.
- Potenciação:
- Definição: É uma operação que representa a multiplicação de um número (a base) por ele mesmo, um determinado número de vezes (o expoente). Ex: 8³ = 8 * 8 * 8.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada
Vamos pensar em um processo de crescimento.
- Começamos com 1 quadrado grande.
Passo 1:
Nós o dividimos em 9 e jogamos o do meio fora. Sobram 8 quadrados.
Passo 2:
Pegamos cada um desses 8 quadrados e fazemos a mesma coisa com eles (dividimos em 9 e jogamos o do meio fora).
Passo 3:
Pegamos todos os quadradinhos que sobraram do passo 2 e repetimos o processo mais uma vez.
A pergunta é: no final de tudo, quantos quadradinhos pretos teremos?
3.2 Estratégia Geral
- Analisar o que acontece em cada passo para descobrir o padrão multiplicativo (a razão da PG).
- Calcular o número de quadrados pretos após o Passo 1 (Figura 2).
- Calcular o número de quadrados pretos após o Passo 2 (Figura 3).
- Usar o padrão encontrado para calcular o número de quadrados pretos após o Passo 3.
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Analisando o padrão:
Em cada etapa, um quadrado preto é substituído por 8 novos quadrados pretos menores. Isso significa que o número total de quadrados pretos é multiplicado por 8 a cada passo.
Vamos calcular o número de quadrados pretos (Q_n) após cada passo n.
- Antes de começar (n=0): Podemos considerar que temos 1 quadrado preto.
Q_0 = 1 Passo 1 (Figura 2):
O quadrado inicial é dividido, e sobram 8.
Q_1 = 1 * 8 = 8
(Temos 8¹ = 8 quadrados pretos)Passo 2 (Figura 3):
Cada um dos 8 quadrados do passo anterior gera 8 novos quadrados.
Q_2 = Q_1 * 8 = 8 * 8 = 64
(Temos 8² = 64 quadrados pretos)Passo 3 (a etapa que a questão pede):
Cada um dos 64 quadrados do passo anterior gera 8 novos quadrados.
Q_3 = Q_2 * 8 = 64 * 8Vamos calcular 64 * 8:
64 * 8 = (60 * 8) + (4 * 8) = 480 + 32 = 512
Ou, usando potências: Q_3 = 8³ = 8 * 8 * 8 = 64 * 8 = 512Q_3 = 512
Portanto, após o terceiro passo, teremos 512 quadrados pretos restantes.
4.2 Verificação Intermediária
A sequência do número de quadrados pretos é 1, 8, 64, 512… Esta é uma Progressão Geométrica de primeiro termo 1 (se considerarmos a figura inicial) e razão 8. A lógica está consistente.
4.3 Possível armadilha
Uma armadilha seria confundir o número do passo com o expoente. Note que no Passo 1, o resultado é 8¹; no Passo 2, é 8²; e no Passo 3, é 8³. A relação é direta. Outra armadilha seria tentar somar os valores em vez de multiplicar (8 + 8 + 8), o que é incorreto para este tipo de processo.
4.4 Fechamento e expectativa
Nosso cálculo nos levou a um total de 512 quadrados pretos. Vamos procurar este valor nas alternativas.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 64.
B) 512.
C) 568.
D) 576.
E) 648.
5.2 Justificativa Individual
- A) 64 (🔴): Incorreto. Este é o número de quadrados pretos após o
Passo 2
(Figura 3), não após o Passo 3.
- B) 512 (🟢): Correto. Corresponde exatamente ao nosso cálculo para o Passo 3 (64 * 8 = 512 ou 8³ = 512).
- C) 568 (🔴): Incorreto. Este valor poderia surgir de um erro de cálculo, como 64 * 8 + 56 ou algo semelhante.
- D) 576 (🔴): Incorreto. Este valor é 64 * 9. Seria o resultado se cada quadrado preto fosse substituído por 9 novos, mas o enunciado diz que o central é removido, restando 8.
- E) 648 (🔴): Incorreto. Sem uma origem clara no cálculo, provavelmente um erro de conta.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
A solução foi encontrada ao se identificar que o número de quadrados pretos segue uma progressão geométrica de razão 8. Calculamos o número de quadrados em cada etapa, multiplicando o resultado da etapa anterior por 8, até chegar à terceira etapa.
6.2 Gabarito Reafirmado
A alternativa correta é a B), totalizando 512 quadrados pretos.
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
Em problemas de processos recursivos ou fractais, procure o padrão multiplicativo. A pergunta “Por quanto o número de elementos é multiplicado a cada passo?” geralmente revela a razão de uma Progressão Geométrica, tornando o cálculo para etapas futuras muito mais simples.
