Nas empresas em geral, são utilizados dois tipos de copos plásticos descartáveis, ambos com a forma de troncos de cones circulares retos:
• copos pequenos, para a ingestão de café: raios das bases iguais a 2,4 cm e 1,8 cm e altura igual a 3,6 cm;
• copos grandes, para a ingestão de água: raios das bases iguais a 3,6 cm e 2,4 cm e altura igual a 8,0 cm.
Uma dessas empresas resolveu substituir os dois modelos de copos descartáveis, fornecendo para cada um de seus funcionários canecas com a forma de um cilindro circular reto de altura igual a 6 cm e raio da base de comprimento igual a y centímetros. Tais canecas serão usadas tanto para beber café como para beber água.
Sabe-se que o volume de um tronco de cone circular reto, cujos raios das bases são respectivamente iguais a R e r e a altura é h, é dado pela expressão:
O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a
A) 2,664 cm.
B) 7,412 cm.
C) 12,160 cm.
D) 14,824 cm.
E) 19,840 cm.
Matérias Necessárias para a Solução da Questão:
Matemática – Geometria Espacial
Tema/Objetivo Geral:
Volume de sólidos geométricos: tronco de cone e cilindro circular reto
Nível da Questão:
Médio. O aluno precisa dominar duas fórmulas diferentes de volume, reconhecer qual se aplica a cada sólido, interpretar uma comparação de volumes e resolver uma equação com substituição de valores e manipulação algébrica.
Gabarito:
C) 12,16 cm
🟢 Correta porque representa o valor de y² mínimo necessário para que o volume da caneca seja igual ao volume do copo de água, como solicitado.
🔎 Passo 1: Análise do Comando e Definição do Objetivo
1.1 Transcrição Essencial:
“O raio y da base dessas canecas deve ser tal que y² seja, no mínimo, igual a”
1.2 O que está sendo pedido?
Descobrir o menor valor possível de y² para que a caneca tenha o mesmo volume do maior dos copos (o de água).
1.3 Objetivo Cristalino:
Encontrar o valor mínimo de y² (o raio ao quadrado da base da caneca cilíndrica) para que seu volume iguale o volume do copo de água.
1.4 Pergunta de Atenção:
Você lembra qual fórmula usar quando o sólido tem duas bases diferentes e é cortado inclinado (tronco de cone)?
📚 Passo 2: Explicação de Conceitos e Conteúdos Necessários
2.1 Definições e Fórmulas / explicação de termos
- Tronco de cone circular reto: sólido com duas bases circulares de raios diferentes e seções paralelas.
Fórmula do volume:
V = (π * h / 3) * (R² + r² + Rr)
Onde:
R = raio maior
r = raio menor
h = altura
- Cilindro circular reto: sólido com base circular e altura perpendicular.
Fórmula do volume:
V = π * y² * h
Onde:
y = raio da base
h = altura
Ambas as fórmulas envolvem π e volume, mas cada uma é usada conforme a geometria do sólido.
📝 Passo 3: Tradução e Interpretação do Problema
3.1 Contextualização Simplificada:
Uma empresa vai trocar os copos descartáveis (de café e de água) por uma única caneca cilíndrica. Para que a caneca sirva para ambos, ela precisa ter volume igual ou maior que o do maior copo, que é o de água.
3.2 Estratégia Geral:
- Calcular o volume do copo de água, usando a fórmula do tronco de cone.
- Igualar esse volume à fórmula da caneca (cilindro).
- Resolver a equação para encontrar y².
🧮 Passo 4: Desenvolvimento do Raciocínio e Cálculos
4.1 Passo a Passo Detalhado
Volume do copo de água:
R = 3,6
r = 2,4
h = 8,0
V = (π * 8 / 3) * (3,6² + 2,4² + 3,6 * 2,4)
V = (π * 8 / 3) * (12,96 + 5,76 + 8,64)
V = (π * 8 / 3) * 27,36
V = (8π / 3) * 27,36
V = 72,96π
Volume da caneca (cilindro):
Altura = 6 cm
Base = raio y
V = π * y² * 6
Igualando os volumes:
π * y² * 6 = 72,96π
y² * 6 = 72,96
y² = 72,96 / 6
y² = 12,16
4.2 Verificação Intermediária
Revisando os números usados:
- R² = 12,96
- r² = 5,76
- Rr = 8,64
→ Soma = 27,36
→ Tudo confere!
4.3 Possível armadilha
💡 Você pode ter usado a média dos volumes dos dois copos ou somado os volumes de café + água, mas a questão só exige que a caneca tenha o mesmo volume do copo maior (água), pois ela precisa comportar ambas as bebidas.
4.4 Fechamento e expectativa
Finalizamos o cálculo com y² = 12,16. Agora vamos conferir qual alternativa traz esse valor.
✅ Passo 5: Análise das Alternativas
5.1 Listagem das Alternativas
A) 2,664 cm
B) 7,142 cm
C) 12,16 cm
D) 14,824 cm
E) 19,840 cm
5.2 Justificativa Individual
🔴 A) Muito baixo. Equivale a uma caneca muito pequena, menor que o copo de café, não atende ao volume mínimo necessário.
🔴 B) Também insuficiente. O volume com y² = 7,142 seria consideravelmente menor que o copo de água.
🟢 C) Correta! Confere com o resultado do cálculo detalhado. Garante volume igual ao copo de água.
🔴 D) Maior que o necessário. Embora garanta o volume, a questão pediu o mínimo valor de y².
🔴 E) Muito acima do necessário. Excedente desnecessário de volume.
🏆 Passo 6: Conclusão e Justificativa Final
6.1 Resumo do Raciocínio
Comparamos o volume do copo de água (tronco de cone) com o da caneca (cilindro), igualando os dois e resolvendo a equação para encontrar o valor mínimo de y².
6.2 Gabarito Reafirmado
Alternativa C — 12,16 cm
6.3 Resumo Final para Revisão 🔍
(🧠) Quando comparar volumes, sempre iguale as fórmulas dos sólidos envolvidos e resolva para a variável pedida, observando se o pedido é volume mínimo, máximo ou exato.
